{"id":30340744,"url":"https://github.com/asiercl/apuntescalculo","last_synced_at":"2026-02-12T01:32:45.789Z","repository":{"id":228544563,"uuid":"773981313","full_name":"AsierCL/ApuntesCalculo","owner":"AsierCL","description":"Resumen Bitácoras curso 2023/2024, Calculo y análisis numérico, USC","archived":false,"fork":false,"pushed_at":"2024-05-01T16:22:49.000Z","size":13376,"stargazers_count":0,"open_issues_count":0,"forks_count":0,"subscribers_count":1,"default_branch":"master","last_synced_at":"2024-05-02T11:20:01.090Z","etag":null,"topics":[],"latest_commit_sha":null,"homepage":null,"language":null,"has_issues":true,"has_wiki":null,"has_pages":null,"mirror_url":null,"source_name":null,"license":null,"status":null,"scm":"git","pull_requests_enabled":true,"icon_url":"https://github.com/AsierCL.png","metadata":{"files":{"readme":"Readme.md","changelog":null,"contributing":null,"funding":null,"license":null,"code_of_conduct":null,"threat_model":null,"audit":null,"citation":null,"codeowners":null,"security":null,"support":null,"governance":null,"roadmap":null,"authors":null,"dei":null,"publiccode":null,"codemeta":null}},"created_at":"2024-03-18T18:26:28.000Z","updated_at":"2024-05-01T16:22:51.000Z","dependencies_parsed_at":"2024-03-19T10:50:42.559Z","dependency_job_id":"7be60c0e-0e98-4517-900f-641ca26ceddd","html_url":"https://github.com/AsierCL/ApuntesCalculo","commit_stats":null,"previous_names":["asiercl/apuntescalculo"],"tags_count":0,"template":false,"template_full_name":null,"purl":"pkg:github/AsierCL/ApuntesCalculo","repository_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories/AsierCL%2FApuntesCalculo","tags_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories/AsierCL%2FApuntesCalculo/tags","releases_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories/AsierCL%2FApuntesCalculo/releases","manifests_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories/AsierCL%2FApuntesCalculo/manifests","owner_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/owners/AsierCL","download_url":"https://codeload.github.com/AsierCL/ApuntesCalculo/tar.gz/refs/heads/master","sbom_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories/AsierCL%2FApuntesCalculo/sbom","scorecard":null,"host":{"name":"GitHub","url":"https://github.com","kind":"github","repositories_count":270962693,"owners_count":24676030,"icon_url":"https://github.com/github.png","version":null,"created_at":"2022-05-30T11:31:42.601Z","updated_at":"2022-07-04T15:15:14.044Z","status":"online","status_checked_at":"2025-08-18T02:00:08.743Z","response_time":89,"last_error":null,"robots_txt_status":"success","robots_txt_updated_at":"2025-07-24T06:49:26.215Z","robots_txt_url":"https://github.com/robots.txt","online":true,"can_crawl_api":true,"host_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub","repositories_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repositories","repository_names_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/repository_names","owners_url":"https://repos.ecosyste.ms/api/v1/hosts/GitHub/owners"}},"keywords":[],"created_at":"2025-08-18T08:19:22.534Z","updated_at":"2026-02-12T01:32:40.751Z","avatar_url":"https://github.com/AsierCL.png","language":null,"funding_links":[],"categories":[],"sub_categories":[],"readme":"# Bitácora 1\n\nFaise unha presentación sobre a materia e sobre os criterios de evaluación desta\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 2\n\n### Busqueda de raices en sist. lineales\n\nEn ecuacións de primeiro e de segundo grado, resólvense con normalidade\n\n### Teorema do valor medio\n\nSe f(x) no intervalo [a,b] e continua, para todo valor $f(a) \u003c z \u003c f(b)$, existe un valor c no intervalo que cumpre $f(c) = z$\n\nSe aplicamos ao caso particular onde $f(a)*f(b) \u003c 0$, obtemos que no intervalo ten que haber unha raíz $(f(x)=0)$\n\n### Método de bisección/dicotomía\n\nUsando o teorema anterior:\nRepítese en forma de buúsqueda binaria $x_r = \\frac{a+b}{2}$, con 3 posibles casos:\n1. $f(a)*f(x_r) = 0$: Entón $x_r$ é a raiz, e finalízase o proceso\n2. $f(a)*f(x_r) \u003c 0$: Significa que hai unha raiz ainda no intervalo $[a,x_r]$, polo que repítese o proceso con $b=x_r$\n3. $f(a)*f(x_r) = 0$: Significa que hai unha raiz ainda no intervalo $[x_r,b]$, polo que repítese o proceso con $a=x_r$\n\nSendo k o numero de pasos realizados, a cota de error deste método é: $e_k = |\\alpha-x_k|=\u003c(\\frac{1}{2})²*(b-a)$, entón sendo $\\alpha$ a raiz que procuramos, $\\alpha = \\lim_{k \\to \\infty} x_k$\n\nEste método pódese repetir ata que o erro $e_k$ sea menor que unha cota dada, ou cando $f(x_k)$ sea moi próximo a 0\n\n##### Modelo de exercicio:\nAtopar o k necesario para queo erro cometido sea menor que $\\epsilon$:\n\nResólvemos a inecuación $\\frac{b-a}{\\epsilon}\u003c2^k$:\n\n$log_2 (\\frac{b-a}{\\epsilon})\u003ck log_2(2)$\n\n$k \u003e log_2(\\frac{b-a}{\\epsilon})$\n\nEste método e lento, pero de converxencia garantizada.\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 3\n\n### Métodos de converxencia veloz\n\nA orde de converxencia dun \n\n??????????????????????????????????\n\n### Método de Newton-Raphson\n\nConsiste en, empezando por un $x_0$ calquera, calcular a recta tangente nese punto, e mirando onde corta o eixo $x$. Logo, repítese ese proceso usando a $x$ do punto de corte.\nPara calcular a recta tanxente a gráfica, usamos a seguinte fórmula\n\n$y = f(x_k) + f'(x_k)*(x-x_0)$\n\nPara calcular o punto de corte, simplemente se substitue a $y$ por $0$.\n\nEste método no e de converxencia garantida, xxa que se unha recta apunta cara outra raíz, non atpoará a que nos buscamos.\n\n#### Teorema 1\n\nSe temos unha funcion con unha raíz no intervalo $(a,b)$, e sexa $m_1$ =\u003c ao valor de $f'(x)$ nese intervalo, e $M_2$ =\u003e ao máximo valor de $f(x)$ nese intervalo. Supoñemos que $m_1\u003e0$, e dado $x_0 \\in [a,b],$ sexa ${x_k} k\\in N$ a sucesión obtida polo método de Newton, e supoñendo que $x_k\\in[a,b]$ para todo $N$, entón: \n\n$|a-x_{k+1} \\leq \\frac{M_2}{2m_1}|\\alpha - x_k|^2$\n\nE dicir, a distancia entre a raiz e o iterante seguinte é menor ou igual a unha constante polo erro na etapa K elevado ao cadrado\n\nSe esto se da, asegurase a converxencia $\\lim_{k \\to \\infty} x_k = \\alpha$ con p=2 e a nosa constante C pasa a ser coñecida: $C = \\frac{M_2}{2m_1}$\n\n#### Teorema 2\n\nSe temos unha función cunha raiz nun intervalo $(a,b)$, e sexan $m_1$ e $M_2$ os mismos que o teorema anterior:\n\n$|a-x_{k+1} \\leq \\frac{M_2}{2m_1}|x_{k+1} - x_k|^2 \\qquad k=0,1,2$\n\nNeste caso, o erro non queda en función da raiz, se non en función de duas iteracións, poidendo saber asi cantas itercions precisamos para que o erro sexa menor que certa constante.\n\n\n### Criterio de detención\nTendo en conta $|x_{k+1} - x_k| = -\\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$, se a distancia é moi pequena, a fracción tamén.\n?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?\n\n### Método da secante\n\nEste método e parecido ao de Newton. Úsase cando é dificil avaliar $f'(x_k)$ xa que se substitue por un cociente incremental -\u003e $\\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x{k-1}}$\n\n$x_{k+1} = x_k - f(x_k)\\frac{x_k-x{k_1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$\n\nEste método é mais lento que o de newton, xa que ten complexidade áurea ($p = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}$).\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 4\n\n### Funcións con varias variables\n\nSe denotamos o número de variables por $n$, as funcións atópanse definidas nun subconxunto de $R^n$, e retornan un escalar, e decir, a todo elemento do subconxunto asignaraselle un R.\n\nA imaxe e o dominio e igual que anteriormente.\n\nExemplo: $f(x,y,z) = \\frac{xy}{z}$\n\n$Dom(f) = {(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 \\ (x,y,0)}$\n\nou equivalentemente, \n\n$\\text{Dom}(f) = \\{(x, y, z) \\in \\mathbb{R}^3 \\ | \\ z = 0, \\ x, y \\in \\mathbb{R}\\}$\n\n#### Exemplos de funcións:\n\n##### Paraboloide\n\n$f(x,y) = x^2 + y^2$\n\n$Dom(f) = \\mathbb{R}^2$\n\n$R(f) = [0, +\\infty)$\n\n\n##### Sela de montar\n\n$f(x,y) = x^2 - y^2$\n\n$\\text{Dom}(f) = (\\mathbb{R}^3)^2$\n\n$R(f) = \\mathbb{R}$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 5\n\n#### Semiesfera\n\n$z = +\\sqrt{\\mathbb{R}^2-x^2-y^2}$ =\u003e $f(x,y) = +\\sqrt{\\mathbb{R}^2-x^2-y^2}$\n\nA función depende de x e y, sendo R un parámetro que denota o radio da semiesfera. O signo faina positiva ou negativa.\n\n\n### Conxuntos de nivel\n\nUn conxunto de nivel é un subconxunto do seu dominio onde a función toma un valor constante, e defínese como $L_c$.\n\n\n#### Exercicio de EXAME\n\nSea $f(x,y) = \\ln(1-x^2-y^2)$. Calcula o dominio de $f$ e define os conxuntos de nivel $L_{-1}, L_0, L_1$.\n\nComo sabemos que o logaritmo ten que ser maior ou igual a 0, a condición é:\n$Dom(f) =$ {$(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 / 1-x^2-y^2 \u003c 0$}, ou o que é equivalente: $Dom(f) =$ {$(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 / x^2+y^2 \u003c 1$}\n\nPara $L_{-1}$:\n\n$L_{-1}$ = ${\\{(x, y) \\in D(f) \\ | \\ \\ln(1 - x^2 - y^2) \u003c 0\\}}$\n\n$e^{-1} = 1-x^2-y^2 =\u003e x^2 + y^2 = 1-1/e =\u003e R^2 = \\sqrt{1-1/e}\\approx 0.795$\n\n$L_{-1} = \\{ (x, y) \\in D(f) \\ | \\ x^2 + y^2 = (\\sqrt{\\frac{e-1}{e}})^2 \\}$\n\n\nEste procéso é análogo para o resto de conxuntos de nivel.\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 6\n------------\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 7\n\n### Derivación de funcións de unha variable\n\nA derivación dunha soa variable $f'(x)$ correspóndese co cálculo da pendente da recta tanxente a curva no punto $x_0$.\n\nA definición de derivada é $\\lim_{{h \\to 0}} \\frac{{f(x+h) - f(x)}}{h}$\n\nSea $f(x)= x^3 +x^2 +x +2$.\n\nA sua derivada correspóndese con $f'(x)=3x^2+2x+1$\n\n\n\n### Derivación de funcións de duas variables\n\n#### Derivada parcial respecto de $x$\n\nA función $f$ é derivable respecto de $x$ no punto $(x_0, y_0)$ se existe y é un número o seguinte límite: \n$\\lim_{{h \\to 0}} \\frac{{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}}{h}$.\n\nPara derivar respecto dunha variable, considéranse o resto como constantes, facendo unha derivada normal.\nO proceso é análogo para $y$.\n\nExemplo: $f(x,y)=x^2-2xy-3y^2$\n\n$\\frac{\\partial f(x,y)}{\\partial x} = 2x -2y$\n\n$\\frac{\\partial f(x,y)}{\\partial y} = 2x -6y$\n\n#### Interpretacion xeométrica\n\n$f_x(x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0, y_0)$ é a pendente da recta tanxente no punto $P(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ da curva obtida de intersecar a superficie $z = f(x,y)$ co plano $y = y_0$. Mesma forma, ocurre con $f_y(x,y).$\n\n\n### Plano tanxente\n\nPara unha superficie $z = f(x,y)$, o plano tanxente ao punto $P(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ queda definido pola seguinte ecuación:\n\n$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0)$\n\nExemplo: $f(x,y)=x^2-2xy-3y^2$\n\n(As parciales calculadas antes)\n\n$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0)$\n\n$z = 0 + 4(x-3) - 12(y-1)$\n\n$z = 4x - 12y$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 8\n\n### Método de Newton\n\nSupoñemos que temos unha función non lineal $f:D\\subseteq R \\to R$ diferenciable en D, e queremos atopar $\\alpha$ tales que $f(\\alpha)=0$.\n\nPara resolver este problema, construimos unha sucesión de puntos $x^k$ de forma que se van achegando a $\\alpha$, co cal podemos deter a sucesión cando nos acheguemos o suficinente a 0.\n\n1. Escóllese un primeiro iterante $x^0$\n2. Partindo de $x^k$, constrúese $x^{k+1}$ da seguinte forma: $x^{k+1}=x^k - \\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}$\n3. Detémosnos se $|x^{k+1} -x|\u003c\\epsilon$ ou tamén se $|f(x^k+1)|\u003c\\epsilon$, sendo $\\epsilon$ unha tolerancia definida.\n4. Dado que o algoritmo pode non converxer, hai que considerar un número máximo de iteracións\n\n### Método de Newton (2D)\n\nAhora, en vez de contar con unha soa función, contamos con duas.\n\n$f_1:D\\subseteq R^2 \\to R \\qquad$  e  $\\qquad f_2:D\\subseteq R^2 \\to R$\n\nIgual que no caso anterior, queremos topar valores de $\\alpha$ para os cales:\n\n$f_1(\\alpha_1, \\alpha_2)=0 \\qquad$   e  $\\qquad f_2(\\alpha_1, \\alpha_2)=0$\n\nUnha forma de simplificar esto, e facer uso dunha función vectorial:\n\n$f(x_1, x_2):=(f_1(x_1, x_2), f_2(x_1, x_2))$\n\nAhora, hai que atopar os valores de $\\alpha$ para os que:\n\n$f(\\alpha_1, \\alpha_2):=(f_1(\\alpha_1, \\alpha_2), f_2(\\alpha_1, \\alpha_2)) = (0,0)$\n\nEsta vez a sucesión de valores $x^k$ será $(x_1^k, x_2^k), a cal se vai achegando a (\\alpha_1, \\alpha_2).$\n\n### Método de Newton-Raphson\n\nXeneralizando o anterior, querese atopar $f(x)=0$ para unha $f:R^n \\to R^n$. Supoñemos que $\\alpha = (\\alpha_1, \\alpha_2, ..., \\alpha_n)t \\in R^n$ é unha solución do sistema, e que $f=(f_1, f_2, ..., f_n)$ é duas veces diferenciable.\n\nEmpregando o desenvolvemento de Taylor para variables e funcións na contorna do punto $x^k=(x^k_1, x^k_2, ..., x^k_n)$ para obter:\n\n$0 = f(\\alpha)=f(x^k)+Df(x^k)(\\alpha-x^k)+O(|\\alpha -x^k|^2)$\n\n$Df(x^k)$ corresponde a matriz de derivadas parciais ou Matriz Jacobiana.\n\n\n$$ Df(x^k) =\n\\left(\\begin{array}{cc} \n\\frac{\\partial f_1}{\\partial x_1}(x^k) \u0026 ··· \u0026 \\frac{\\partial f_1}{\\partial x_n}(x^k)\\\\\n· \u0026  ·   \u0026 · \\\\\n· \u0026   ·  \u0026 · \\\\\n· \u0026    · \u0026 · \\\\\n\\frac{\\partial f_n}{\\partial x_1}(x^k) \u0026 ··· \u0026 \\frac{\\partial f_n}{\\partial x_n}(x^k)\\\\\n\\end{array}\\right)\n$$ \n\nPara duas incógnitas, a matriz Jacobiana vese asi:\n\n$$ Df(x^k) =\n\\left(\\begin{array}{cc} \n\\frac{\\partial f_1}{\\partial x_1}(x^k) \u0026 ··· \u0026 \\frac{\\partial f_1}{\\partial x_2}(x^k)\\\\\n\\frac{\\partial f_2}{\\partial x_1}(x^k) \u0026 ··· \u0026 \\frac{\\partial f_2}{\\partial x_2}(x^k)\\\\\n\\end{array}\\right)\n$$ \n\nCando o termo $|\\alpha - x^k|$ é moi pequeno, $O(|\\alpha -x^k|^2)$ pode desperdiciarse.\nPor tanto, o resultado para duas variables, é o seguinte:\n\n$0 = f_1(x^k)+\\frac{\\partial f_1}{\\partial x_1}(x^k)(\\alpha_1-x^k_1)+\\frac{\\partial f_1}{\\partial x_2}(x^k)(\\alpha_2-x^k_2)$\n\n$0 = f_2(x^k)+\\frac{\\partial f_2}{\\partial x_1}(x^k)(\\alpha_1-x^k_1)+\\frac{\\partial f_2}{\\partial x_2}(x^k)(\\alpha_2-x^k_2)$\n\nSe a matriz $Df(x)$ é invertible, pódese extraer o valor da raíz $\\alpha$ de dito sistema, sendo o resultado:\n\n$Df(x^k)(\\alpha - x^k) \\approx -f(x^k) \\to \\alpha -x^k \\approx -Df(x^k)^{-1}f(x^k) \\to \\alpha \\approx x^k -Df(x^k){-1}f(x^k)$\n\nPolo tanto, o método de Newton consiste na aproximación da solución $x^{k+1}:=x^k -Df(x^k){-1}f(x^k), \\qquad k=0,1,2...$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 9\n\n### Método de Newton (continuación)\n\nSe a matriz $Df(x^k)$ é invertible, entón podemos aproximar a raíz $\\alpha$ despexándoa da seguinte relación:\n$Df(x^k)(\\alpha - x^k) \\approx -f(x^k) \\to Df(x^k)(x^{k+1}-x^k) \\approx -f(x^k)$\n\nA nosa incógnita é $x^{k+1}$ que se corresponde co seguinte termo:\n\n$x^{x+1}=x^k-(Df^{-1}(x^k)f(x^k))$\n\nEsta ecoacuón final, aseméllase coa ecuación do método para unha incógnita: $x^{k+1}=x^k-\\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}$, solo que en vez de dividir pola derivada de $f(x)$, multiplicamos pola inversa da matriz Jacobiana, polo que esta debe ser invertible.\n\n???????? Algoritmo para invertir a matriz ¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿\n\n### Derivadas parciais de segunda orde\n\nAs derivadas parciais de segunda orde, fanse con respecto as derivadas parciais de x e de y:\n\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x,y)=\\frac{\\alpha}{\\alpha x}(\\frac{\\alpha f}{\\partial x}(x,y))=f_{xx}(x,y)$\n\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y \\partial x}(x,y)=\\frac{\\alpha}{\\alpha y}(\\frac{\\alpha f}{\\partial x}(x,y))=f_{xy}(x,y)$\n\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2}(x,y)=\\frac{\\alpha}{\\alpha y}(\\frac{\\alpha f}{\\partial x}(x,y))=f_{yy}(x,y)$\n\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial x \\partial y}(x,y)=\\frac{\\alpha}{\\alpha x}(\\frac{\\alpha f}{\\partial y}(x,y))=f_{yx}(x,y)$\n\n### Teorema das derivadas parcias mixtas e Matriz Hessiana\n\nSe $f(x,y)$ e as súas derivadas parciais están definidas nunha rexion aberta que conten o unto (a,b) e son continuas en (a,b), entón cumprese o dito anteriormente.\n\n$\\frac{\\alpha}{\\alpha x}(\\frac{\\alpha f}{\\alpha y}(x,y))=\\frac{\\alpha}{\\alpha y}(\\frac{\\alpha f}{\\alpha x}(x,y))$\n\nA partir das derivdas segundas da función f, podemos construir a Matriz Hessiana:\n\n$$ Hf(x^k) =\n\\left(\\begin{array}{cc} \nf_{xx}(x,y) \u0026 f_{xy}(x,y)\\\\\nf_{yx}(x,y) \u0026 f_{yy}(x,y)\\\\\n\\end{array}\\right)\n$$ \n\n### Vector gradiente\n\nSexa $f(x,y) unha función para a que existen as derivadas parciais $\\frac{\\alpha f}{\\alpha x}(x,y),\\frac{\\alpha f}{\\alpha y}(x,y)$ e son continuas, o vector gradiente defínese como: \n\n$\\nabla f(x,y)=(\\frac{\\alpha f}{\\alpha x}(x,y),\\frac{\\alpha f}{\\alpha y}(x,y))$\n\n##### Exemplo de vector gradiente\n\n$T(x,y)=100 - x^2 -y^2$\n\n$\\nabla T(x,y)=(\\frac{\\alpha T}{\\alpha x}(x,y),\\frac{\\alpha T}{\\alpha y}(x,y))= (-2x,-2y)$\n\n### Función vectorial\n\nCando temos máis variables, en vez de ter un vector gradiente, temos unha función vectorial que sigue a seguinte definicion:\n\n$f:x\\in Dom(f) \\subseteq R^n \\to f(x)=(f_1(x),...mf_m(x))\\in R^ m$\n\n### Matriz Xacobiana (xeral)\n\nEsta matriz caracterízase por ter tantas filas como compoñentes da imaxe, e tantas columnas como variables independientes. No caso particular de funcións escalares (m=1), a matriz Jacobiana coincide co vector gradiente, como por exemplo:\n\n$f(x,y)=ln(x^2+y^2)$\n\n$Df(x,y)=(\\frac{2x}{x^2+y^2} \\frac{2y}{x^+y^2})= \\nabla f(x,y)$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 10\n\n### Regra da cadea\n\n#### Caso 1\nSupoñendo dúas funcións tal que \n\n$g: Dom(g) \\subseteq R^n\\to R^m$\n$f: Dom(f) \\subseteq R^m\\to R^p$\n\npódense compoñer as dúas funcións $[R^n \\to g \\to R^m \\to f \\to R^p]$ tendo todas as derivadas parciais contínuas. Verifícase entón: \n\n$D(g \\circ f)(x) = Df(g(x))Dg(x)$  \n\n#### Caso 2\n\nNo caso 2, vólvese a ter unha función $f(x,y)$ de dúas variables, pero estas en vez de depender dunha única variable, dependen de 2:\n$x=x(u,v), y=y(u,v)$\n\nA composición:\n\n$w(u,v):= (f \\circ r)(u,v) = f(r(u,v)) = f(x(u,v),y(u,v))$\n\nÉ unha función de dúas variables que ten como derivadas parciais:\n\n$\\frac{\\partial w}{\\partial u}=\\frac{\\partial f}{\\partial x}(r(u,v))\\frac{\\partial x}{\\partial u} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}(r(u,v))\\frac{\\partial y}{\\partial u}$\n\n$\\frac{\\partial w}{\\partial v}=\\frac{\\partial f}{\\partial x}(r(u,v))\\frac{\\partial x}{\\partial v} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}(r(u,v))\\frac{\\partial y}{\\partial v}$\n\nque compoñen a matriz resultante da derivada da composición:\n\n$D(f\\circ r)=Df(r(u,v))Dr(u,v)=(\\frac{\\partial w}{\\partial u}  \\frac{\\partial w}{\\partial v})$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 11\n\n### Derivación implícita\n\nPara unha gráfica $f(x,y)$, a variable y pode estar definida de forma implícita como un conxunto de nivel de valor 0: $f(x,y)=0$\n\nSe F permite derivadas parciais e estas son continuas, entón:\n\n$\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}; \\forall F_y(x,y)\\not ={0}$\n\nEste método é equivalente á derivación implícita, que consiste en:\n\n1. Derivación de ambos membros da ecuación\n2. Despexe de $y'(x)$\n\n##### Exemplo\n\nCalcular $\\frac{dy}{dx}$ en: $y^5-2y-x=0$\n\nDefinimos as derivadas parciais:\n\n$F_x(x,y)=-1 \\qquad F_y(x,y)=5y^4-2$\n\n$\\frac{dy}{dx}=-\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} = -\\frac{-1}{5y^4-2} = \\frac{1}{5y^4-2}$\n\nSe en vez de empregar a fórmula, derivamos implícitamente, obtemos os mesmos resultados.\n\n$y(x)^5-2y(x)-x=0; \\qquad 5y(x)^4\\frac{dy}{dx}-2\\frac{dy}{dx}-1=0$\n\n$\\frac{dy}{dx}(5y(x)^4-2)=1; \\qquad \\frac{dy}{dx}=\\frac{1}{5y^4-2}$\n\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\u003cbr\u003e\n\n\n# Bitácora 12\n\n### Derivadas direccionais\n\nEstas derivadas permiten analizar como varía a función nunha dirección determinada do plano $xy$, e para eso usamos os vectores unitarios $i=(1,0) \\quad j=(0,1)$.\n\nSegundo se avanza na dirección indicada, a recta tanxente varia de forma que pode definirse como a tanxente en dirección $u$ mediante a seguinte derivada (derivada direccional en dirección $u$).\n\n$D_uF(x_0,y_0)=\\lim_{s \\to \\infty} \\frac{f((x_0,y_0)+su)-f(x_0,y_0)}{s}$\n\nA derivada direccional tamén pode expresarse en función ao vector gradiente coa seguinte expresión: $D_uF(x_0,y_0)=\\nabla f(x_0,y_0)*u = ||\\nabla f(x_0,y_0)||*||u||*\\cos(\\theta)$\n\nRecordatorio de que o vector gradiente calcúlase da seguinte forma $\\nabla f(x,y)=(\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y),\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y))$\n\nÉ importante destacar que as derivadas parciais poden ser entendidas como casos particulares das derivadas direccionais, onde se toman os vectores $(0,1)$ e $(1,0)$, e dicir, tómanse os eixes x e y respectivamente como referencia. Por tanto:\n\n$D_{(1,0)}f(x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) \\quad$ e $\\quad D_{(0,1)}f(x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)$\n\n### Extremos de funcións de duas variables\n\nNo caso de traballar con funcións dunha variable, os extremos detectábanse cando a derivada era nula. Agora, traballando con funcións de $\\R^2$ en $\\R$, pódense definir os seguintes conceptos:\n\n- Extremos absolutos:\n  - $(x_0, y_0)$ é un máximo absoluto de $f(x,y)$ se $f(x_0, y_0) \\geq f(x,y), \\forall(x,y) \\in Dom(f)$\n  - $(x_0, y_0)$ é un mínimo absoluto de $f(x,y)$ se $f(x_0, y_0) \\leq f(x,y), \\forall(x,y) \\in Dom(f)$\n- Extremos relativos:\n  - $(x_0, y_0)$ é un máximo relativo de $f(x,y)$ se $f(x_0, y_0) \\geq f(x,y), \\forall(x,y)$ dun círculo con centro en $(x_0, y_0)$\n  - $(x_0, y_0)$ é un mínimo relativo de $f(x,y)$ se $f(x_0, y_0) \\leq f(x,y), \\forall(x,y)$ dun círculo con centro en $(x_0, y_0)$\n\nSe nun punto da gráfica hai un extremo no que ademais existen as derivadas parciais, cúmprese que $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0, y_0)=\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0, y_0)$, levando a que o \"detector\" de extremos sexa o plano tanxente da forma $z = f(x_0, y_0) +f(x_0,y_0)* \n\\left(\\begin{array}{cc} \nx-x_0\\\\\ny-y_0\\\\\n\\end{array}\\right)$\n\n### Puntos críticos\n\nUn punto crítico dunha función é aquel que verifica: $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0, y_0)=\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0, y_0)=0$, ou unha das derivadas parciais nese punto non existe.\n\nSe temos un punto crítico que non é un extremo, podemos estar ante un punto de sela. \n\n### Hessiano\n\n$$ |Hf(x^k)| =\n\\left(\\begin{array}{cc} \n\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x_0,y_0) \u0026 \\frac{\\partial^2f}{\\partial x \\partial y}(x_0,y_0)\\\\\n\\frac{\\partial x \\partial y}{\\partial x^2}(x_0,y_0) \u0026 \\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2}(x_0,y_0)\\\\\n\\end{array}\\right)\n$$ \n\nSe unha función $f(x,y)$ ten un punto crítico en $(x_0,y_0)$:\n- Se $|Hf(x^k)| \u003e 0$ e $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x_0,y_0)\u003c0$, hai un máximo relativo.\n- Se $|Hf(x^k)| \u003e 0$ e $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x_0,y_0)\u003e0$, hai un mínimo relativo.\n- Se $|Hf(x^k)| \u003c 0$ é un punto de sela.\n- Se $|Hf(x^k)| = 0$ o criterio non decide.\n\nExemplo:\n\nDeterminar os extremos relativos de $f(x,y) = x^2 + y^2$\n\n$f_x(x,y)=2x, f_y(x,y)=2y$, por tanto, o único punto crítico é o $(0,0)$.\n\nAhora, formamos o hessiano: \n\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x_0,y_0) = 2$\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial x \\partial y}(x_0,y_0) = 0$\n$\\frac{\\partial x \\partial y}{\\partial x^2}(x_0,y_0) = 0$\n$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2}(x_0,y_0) = 2$\n \n$$ |Hf(0,0)| =\n\\left(\\begin{array}{cc} \n2 \u0026 0\\\\\n0 \u0026 2\\\\\n\\end{array}\\right)\n$$ \n\n$|Hf(0,0)| = 4 \u003e 0  \\qquad \\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2}(x_0,y_0) = 2\u003e0$, polo que concluímos que é un mínimo relativo.\n","project_url":"https://awesome.ecosyste.ms/api/v1/projects/github.com%2Fasiercl%2Fapuntescalculo","html_url":"https://awesome.ecosyste.ms/projects/github.com%2Fasiercl%2Fapuntescalculo","lists_url":"https://awesome.ecosyste.ms/api/v1/projects/github.com%2Fasiercl%2Fapuntescalculo/lists"}