{"id":22452406,"url":"https://github.com/jaalonso/calculemus2","last_synced_at":"2025-03-27T12:41:23.092Z","repository":{"id":179700424,"uuid":"663879862","full_name":"jaalonso/Calculemus2","owner":"jaalonso","description":"Proof exercises in Lean4 and 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repository contains the solutions in Lean4 and Isabelle/HOL for the\nexercises proposed in the [Calculemus](https://jaalonso.github.io/calculemus) blog.\n\n\n# Exercises organized by publication date\n\n\n## 2025\n\n\n### January 2025\n\n-   21 [Praeclarum theorema](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2025/01/21-praeclarum_theorema) (In [Lean4](./src/Praeclarum_theorema.lean) and [Isabelle](./thy/Praeclarum_theorema.thy)).\n-   03 [Nicomachus’s theorem](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2025/01/03-nicomachus_theorem/) (In [Lean4](./src/Nicomachus_theorem.lean) and [Isabelle](./thy/Nicomachus_theorem.thy)).\n\n\n## 2024\n\n\n### December 2024\n\n-   02 [If uₙ tends to a y vₙ tends to b, then uₙvₙ tends to ab](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/12/02-tendsto_mul/) (In [Lean4](./src/TendsTo_mul.lean)).\n\n\n### November 2024\n\n-   29 [If the limit of the sequence u(n) is a and c ∈ ℝ, then the limit of u(n)c is ac](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/11/29-limit_multiplied_by_a_constant_2/) (In [Lean](./src/Limit_multiplied_by_a_constant_2.lean)).\n\n\n### October 2024\n\n-   10 [If u(n) tends to a, then 7u(n) tends to 7a](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/11/10-limit_of_7u/) (In [Lean4](./src/Limit_of_7u.lean)).\n-   07 [Pigeonhole principle](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/10/07-pigeonhole_principle/) (In [Lean4](./src/Pigeonhole_principle.lean)).\n-   04 [If f ∘ f is biyective, then f is biyective](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/10/04-if_ff_is_biyective_then_f_is_biyective/) (In [Lean](./src/If_ff_is_biyective_then_f_is_biyective.lean) and [Isabelle](./thy/If_ff_is_biyective_then_f_is_biyective.thy)).\n\n\n### September 2024\n\n-   25 [Brahmagupta-Fibonacci identity](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/25-brahmagupta-fibonacci_identity/) (In [Lean](./src/Brahmagupta-Fibonacci_identity.lean) and [Isabelle](./thy/Brahmagupta-Fibonacci_identity.thy)).\n-   24 [Proofs of ∑k\u003cn. 2\u003csup\u003ek\u003c/sup\u003e = 2\u003csup\u003en\u003c/sup\u003e-1](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/24-sum_of_powers_of_two/) (In [Lean](./src/Sum_of_powers_of_two.lean) and [Isabelle](./thy/Sum_of_powers_of_two.thy)).\n-   19 [Proofs of \"∑i\u003cn. i = n(n-1)/2\"](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/19-gausss_formula_for_summation) (In [Lean](./src/Gauss's_formula_for_summation.lean) and [Isabelle](./thy/Gauss's_formula_for_summation.thy)).\n-   12 [Proofs of \"If p \u003e -1, then (1+p)ⁿ ≥ 1+np\"](./textos/Proofs_of_(1+p)^n_ge_1+np.md) (In [Lean](./src/Proofs_of_(1+p)^n_ge_1+np.lean) and [Isabelle](./thy/Proofs_of_(1+p)^n_ge_1+np.thy)).\n-   10 [Proofs of 0³+1³+2³+3³+···+n³ = (n(n+1)/2)²](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/10-sum_of_the_first_cubes/) (In [Lean](./src/Sum_of_the_first_cubes.lean) and [Isabelle](./thy/Sum_of_the_first_cubes.thy)).\n-   09 [Proofs of a+aq+aq²+···+aqⁿ = a(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/09-sum_of_geometric_progresion/) (In [Lean](./src/Sum_of_geometric_progresion.lean) and [Isabelle](./thy/Sum_of_geometric_progresion.thy)).\n-   07 [Proofs of a+(a+d)+(a+2d)+···+(a+nd) = (n+1)(2a+nd)/2](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/07-sum_of_arithmetic_progression/) (In [Lean](./src/Sum_of_arithmetic_progression.lean) and [Isabelle](./thy/Sum_of_arithmetic_progression.thy)).\n-   05 [Proofs of 0+1+2+3+···+n = n(n+1)/2](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/05-sum_of_the_first_n_natural_numbers) (In [Lean](./src/Sum_of_the_first_n_natural_numbers.lean) and [Isabelle](./thy/Sum_of_the_first_n_natural_numbers.thy)).\n-   04 [If f is continuous at a and the limit of u(n) is a, then the limit of f(u(n)) is f(a)](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/04-sufficient_condition_of_continuity/) (In [Lean](./src/Sufficient_condition_of_continuity.lean) and [Isabelle](./thy/Sufficient_condition_of_continuity.thy)).\n-   03 [If x is the limit of u and y is an upper bound of u, then x ≤ y](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/03-limits_are_less_than_or_equal_to_upper_bounds) (In [Lean](./src/Limits_are_less_than_or_equal_to_upper_bounds.lean) and [Isabelle](./thy/Limits_are_less_than_or_equal_to_upper_bounds.thy)).\n-   02 [If (∀ ε \u003e 0, y ≤ x + ε), then y ≤ x](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/09/02-le_of_forall_pos_le_add) (In [Lean4](./src/le_of_forall_pos_le_add.lean) and [Isabelle](./thy/le_of_forall_pos_le_add.thy)).\n\n\n### August 2024\n\n-   31 [If x is the supremum of set A, then ∀ y, y \u003c x → ∃ a ∈ A, y \u003c a](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/31-if_x_is_the_supremum_of_set_a_then_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_a_y_lt_a/) (In [Lean](./src/If_x_is_the_supremum_of_set_A_then_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_A_y_lt_a.lean) and [Isabelle](./thy/If_x_is_the_supremum_of_set_A_then_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_A_y_lt_a.thy)).\n-   29 [Equivalence of definitions of the Fibonacci function](./textos/Fibonacci.md) (In [Lean4](./src/Fibonacci.lean) and [Isabelle](./thy/Fibonacci.thy)).\n-   28 [Proofs of \"flatten (mirror a) = reverse (flatten a)\"](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/28-flatten_of_mirror) (In [Lean4](./src/Flatten_of_mirror.lean) and [Isabelle](./thy/Flatten_of_mirror.thy)).\n-   26 [Proofs that the mirror function of binary trees is involutive](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/26-proofs_that_the_mirror_function_of_binary_trees_is_involutive) (In [Lean4](./src/Proofs_that_the_mirror_function_of_binary_trees_is_involutive.lean) and [Isabelle](./thy/Proofs_that_the_mirror_function_of_binary_trees_is_involutive.thy)).\n-   19 [Equivalence of reverse definitions](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/19-equivalence_of_reverse_definitions/) (In [Lean](./src/Equivalence_of_reverse_definitions.lean) and [Isabelle](./thy/Equivalence_of_reverse_definitions.thy)).\n-   14 [Proofs of \"take n xs ++ drop n xs = xs\"](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/14-proofs_of_take_n_xs_%2B%2B_drop_n_xs_eq_xs/) (In [Lean](./src/Proofs_of_take_n_xs_++_drop_n_xs_Eq_xs.lean) and [Isabelle](./thy/Proofs_of_take_n_xs_++_drop_n_xs_Eq_xs.thy)).\n-   07 [Proofs of the equality \"length(xs ++ ys) = length(xs) + length(ys)\"](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2024/08/07-proofs_of_the_equality_lengthxs%2B%2Bys_eq_lengthxs%2Blengthys) (In [Lean](./src/Proofs_of_the_equality_length(xs++ys)_Eq_length(xs)+length(ys).lean) and [Isabelle](./thy/Proofs_of_the_equality_length(xs++ys)_Eq_length(xs)+length(ys).thy)).\n\n\n### July 2024\n\n-   31 [Asociatividad de la concatenación de listas](./textos/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.md) (En [Lean](./src/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.lean) y en [Isabelle](./thy/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.thy)).\n-   29 [Pruebas de \"length (replicate n x) = n\"](./textos/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.md) (En [Lean](./src/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.lean) y en [Isabelle](./thy/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.thy)).\n-   27 [Si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n](./textos/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.md) (En [Lean](./src/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.thy)).\n-   26 [Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos](./textos/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.md) (En [Lean](./src/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.thy)).\n-   25 [Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u](./textos/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.md) (En [Lean](./src/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.lean) y en [Isabelle](./thy/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.thy)).\n-   16 [El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite](./textos/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.md) (En [Lean](./src/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.lean) y en [Isabelle](./thy/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.thy)).\n-   15 [Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión](./textos/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.md) (En [Lean](./src/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.thy)).\n-   14 [Si a es un punto de acumulación de u, entonces (∀ε\u003e0)(∀n∈ℕ)(∃k≥n)[u(k)−a| \u003c ε]​](./textos/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.md) (En [Lean](./src/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.lean) y en [Isabelle](./thy/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.thy)).\n-   11 [Las funciones de extracción no están acotadas](./textos/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.thy)).\n-   10 [Relación entre los índices de las subsucesiones y de la sucesión](./textos/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.md) (En [Lean](./src/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.lean) y en [Isabelle](./thy/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.thy)).\n-   09 [Las particiones definen relaciones de equivalencia](./textos/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.md) (En [Lean](./src/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.thy)).\n-   08 [Las particiones definen relaciones transitivas](./textos/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.md) (En [Lean](./src/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.thy)).\n-   05 [Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas](./textos/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.md) (En [Lean](./src/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.thy)).\n-   04 [Las particiones definen relaciones reflexivas](./textos/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.md) (En [Lean](./src/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.thy)).\n-   03 [El conjunto de las clases de equivalencia es una partición](./textos/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.md) (En [Lean](./src/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.lean) y en [Isabelle](./thy/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.thy)).\n-   02 [Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas](./textos/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.md) (En [Lean](./src/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.thy)).\n-   01 [Las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales](./textos/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.md) (En [Lean](./src/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.thy)).\n\n\n### June 2024\n\n-   28 [Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy](./textos/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.md) (En [Lean](./src/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.thy)).\n-   27 [La composición por la izquierda con una inyectiva es una operación inyectiva](./textos/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.md) (En [Lean](./src/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.thy)).\n-   26 [La igualdad de valores es una relación de equivalencia](./textos/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.md) (En [Lean](./src/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.lean) y en [Isabelle](./thy/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.thy)).\n-   25 [La equipotencia es una relación de equivalencia](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.thy)).\n-   24 [La equipotencia es una relación transitiva](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.thy)).\n-   21 [La composición de funciones biyectivas es biyectiva](./textos/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.md) (En [Lean](./src/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.thy)).\n-   20 [La equipotencia es una relación simétrica](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.thy)).\n-   19 [La inversa de una función es biyectiva](./textos/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.md) (En [Lean](./src/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.thy)).\n-   18 [La equipotencia es una relación reflexiva](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.thy)).\n-   17 [Las funciones biyectivas tienen inversa](./textos/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.thy)).\n-   14 [Las funciones con inversa son biyectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.thy)).\n-   13 [Las funciones suprayectivas tienen inversa por la derecha](./textos/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.thy)).\n-   12 [Las funciones con inversa por la derecha son suprayectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.thy)).\n-   11 [Las funciones inyectivas tienen inversa por la izquierda](./textos/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.thy)).\n-   10 [Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva](./textos/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.md) (En [Lean4](./src/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.lean) y en [Isabelle](./thy/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.thy)).\n-   07 [Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva](./textos/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.md) (En [Lean4](./src/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.lean) y en [Isabelle](./thy/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.thy)).\n-   06 [Si el límite de la sucesión uₙ es a, entonces el límite de -uₙ es -a](./textos/Limite_de_la_opuesta.md) (En [Lean](./src/Limite_de_la_opuesta.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_la_opuesta.thy)).\n-   05 [Las funciones con inversa por la izquierda son inyectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.thy)).\n-   04 [La congruencia módulo 2 es una relación de equivalencia](./textos/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.md) (En [Lean](./src/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.lean) y en [Isabelle](./thy/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.thy)).\n-   03 [Si uₙ está acotada y lim vₙ = 0, entonces lim (uₙ·vₙ) = 0](./textos/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.md) (En [Lean](./src/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.thy)).\n\n\n### May 2024\n\n-   31 [Si (∀n)[uₙ ≤ vₙ], entonces lim uₙ ≤ lim vₙ](./textos/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.md) (En [Lean](./src/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.thy)).\n-   30 [Si x, y ∈ ℝ tales que (∀ z)[y \u003c z → x ≤ z], entonces x ≤ y](./textos/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.md) (En [Lean](./src/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.thy)).\n-   29 [La paradoja del barbero](./textos/La_paradoja_del_barbero.md) (En [Lean](./src/La_paradoja_del_barbero.lean) y en [Isabelle](./thy/La_paradoja_del_barbero.thy)).\n-   28 [Las sucesiones convergentes están acotadas](./textos/Acotacion_de_convergentes.md) (En [Lean](./src/Acotacion_de_convergentes.lean) y en [Isabelle](./thy/Acotacion_de_convergentes.thy)).\n-   27 [Un número es par si y solo si lo es su cuadrado](./textos/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.md) (En [Lean](./src/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean) y en [Isabelle](./thy/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.thy)).\n-   24 [Los supremos de las sucesiones crecientes son sus límites](./textos/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.md) (En [Lean](./src/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.lean) y en [Isabelle](./thy/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.thy)).\n-   23 [Si \\`f(x) ≤ f(y) → x ≤ y\\`, entonces f es inyectiva](./textos/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.md) (En [Lean](./src/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.thy)).\n-   22 [Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad](./textos/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.md) (En [Lean](./src/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean) y en [Isabelle](./thy/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.thy)).\n-   21 [La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente](./textos/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.md) (En [Lean](./src/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean) y en [Isabelle](./thy/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.thy)).\n-   20 [Los monoides booleanos son conmutativos](./textos/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.md) (En [Lean](./src/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.lean) y en [Isabelle](./thy/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.thy)).\n-   17 [Si M es un monoide, a ∈ M y m, n ∈ ℕ, entonces a\u003csup\u003e(m·n)\u003c/sup\u003e = (a\u003csup\u003em\u003c/sup\u003e)\u003csup\u003en\u003c/sup\u003e](./textos/Potencias_de_potencias_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Potencias_de_potencias_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Potencias_de_potencias_en_monoides.thy)).\n-   16 [Si G es un grupo y a, b, c ∈ G tales que a·b = a·c, entonces b = c](./textos/Propiedad_cancelativa_en_grupos.md) (En [Lean](./src/Propiedad_cancelativa_en_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_cancelativa_en_grupos.thy)).\n-   15 [Si G un grupo y a ∈ G, entonces (a⁻¹)⁻¹ = a](./textos/Inverso_de_inverso_en_grupos.md) (En [Lean](./src/Inverso_del_inverso_en_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Inverso_del_inverso_en_grupos.thy)).\n-   14 [Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹](./textos/Inverso_del_producto.md) (En [Lean](./src/Inverso_del_producto.lean) y en [Isabelle](./thy/Inverso_del_producto.thy)).\n-   13 [Si G es un grupo y a, b ∈ G tales que ab = 1 entonces a⁻¹ = b](./textos/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.md) (En [Lean](./src/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.thy)).\n-   10 [Unicidad del elemento neutro en los grupos](./textos/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.md) (En [Lean](./src/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.thy)).\n-   09 [Caracterización de producto igual al primer factor](./textos/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.md) (En [Lean](./src/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.lean) y en [Isabelle](./thy/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.thy)).\n-   08 [Unicidad de inversos en monoides](./textos/Unicidad_de_inversos_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Unicidad_de_inversos_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_de_inversos_en_monoides.thy)).\n-   07 [Equivalencia de inversos iguales al neutro](./textos/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.md) (En [Lean](./src/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.lean) y en [Isabelle](./thy/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.thy)).\n-   06 [Producto de potencias de la misma base en monoides](./textos/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.thy)).\n-   03 [En los monoides, los inversos a la izquierda y a la derecha son iguales](./textos/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.md) (En [Lean](./src/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.lean) y en [Isabelle](./thy/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.thy)).\n-   02 [Teorema de Cantor](./textos/Teorema_de_Cantor.md) (En [Lean](./src/Teorema_de_Cantor.lean) y en [Isabelle](./thy/Teorema_de_Cantor.thy)).\n-   01 [Imagen inversa de la intersección general](./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.thy)).\n\n\n### April 2024\n\n-   30 [Imagen inversa de la unión general](./textos/Imagen_inversa_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_union_general.thy)).\n-   29 [Imagen de la intersección general mediante aplicaciones inyectivas](./textos/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.thy)).\n-   26 [Imagen de la intersección general](./textos/Imagen_de_la_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_general.thy)).\n-   25 [Imagen de la unión general](./textos/Imagen_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_union_general.thy)).\n-   24 [Unión con la imagen inversa](./textos/Union_con_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Union_con_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_la_imagen_inversa.thy)).\n-   23 [Intersección con la imagen](./textos/Interseccion_con_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_la_imagen_inversa.thy)).\n-   22 [Unión con la imagen](./textos/Union_con_la_imagen.md) (En [Lean](./src/Union_con_la_imagen.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_la_imagen.thy)).\n-   17 [Intersección con la imagen](./textos/Interseccion_con_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_la_imagen_inversa.thy)).\n-   16 [f[s] \\\\ f[t] ⊆ f[s \\\\ t]​](./textos/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   15 [Si f es inyectiva, entonces f[s] ∩ f[t] ⊆ f[s ∩ t]​](./textos/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.thy)).\n-   12 [f[s ∩ t] ⊆ f[s] ∩ f[t]​](./textos/Imagen_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion.thy)).\n-   06 [f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_union.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_union.thy)).\n-   04 [Si u ⊆ v, entonces f⁻¹[u] ⊆ f⁻¹[v]​](./textos/Monotonia_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Monotonia_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Monotonia_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   03 [Si s ⊆ t, entonces f[s] ⊆ f[t]​](./textos/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.thy)).\n-   02 [Si f es suprayectiva, entonces u ⊆ f[f⁻¹[u]​]​](./textos/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.thy)).\n\n\n### March 2024\n\n-   19 [f[f⁻¹[u]​] ⊆ u](./textos/Imagen_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   18 [Si f es inyectiva, entonces f⁻¹[f[s]​] ⊆ s](./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.thy)).\n-   15 [f[s] ⊆ u ↔ s ⊆ f⁻¹[u]​](./textos/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   14 [s ⊆ f⁻¹[f[s]​]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_imagen.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen.thy)).\n-   13 [f[s ∪ t] = f[s] ∪ f[t]​](./textos/Imagen_de_la_union.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_union.thy)).\n-   12 [f⁻¹[u ∩ v] = f⁻¹[u] ∩ f⁻¹[v]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion.thy)).\n-   11 [s ∪ (⋂ i, A i) = ⋂ i, (A i ∪ s)](./textos/Union_con_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Union_con_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_interseccion_general.thy)).\n-   08 [(⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i)](./textos/Interseccion_de_intersecciones.md) (En [Lean](./src/Interseccion_de_intersecciones.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_de_intersecciones.thy)).\n-   07 [s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s)](./textos/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.thy)).\n-   06 [Los primos mayores que 2 son impares](./textos/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.md) (En [Lean](./src/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.thy)).\n-   05 [pares ∪ impares = naturales](./textos/Union_de_pares_e_impares.md) (En [Lean](./src/Union_de_pares_e_impares.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_de_pares_e_impares.thy)).\n-   04 [(s \\\\ t) ∪ (t \\\\ s) = (s ∪ t) \\\\ (s ∩ t)](./textos/Diferencia_de_union_e_interseccion.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_union_e_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_union_e_interseccion.thy)).\n-   01 [(s \\\\ t) ∪ t = s ∪ t](./textos/Union_con_su_diferencia.md) (En [Lean](./src/Union_con_su_diferencia.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_su_diferencia.thy)).\n\n\n### February 2024\n\n-   29 [s ∪ (s ∩ t) = s](./textos/Union_con_su_interseccion.md) (En [Lean](./src/Union_con_su_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_su_interseccion.thy)).\n-   27 [s ∩ t = t ∩ s](./textos/Conmutatividad_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Conmutatividad_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Conmutatividad_de_la_interseccion.thy)).\n-   26 [s \\\\ (t ∪ u) ⊆ (s \\\\ t) \\\\ u](./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   23 [(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)](./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.md) (En [Lean](./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.thy)).\n-   22 [(s \\\\ t) \\\\ u ⊆ s \\\\ (t ∪ u)](./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   21 [s ∩ (t ∪ u) ⊆ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)](./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.md) (En [Lean](./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.thy)).\n-   20 [Si s ⊆ t, entonces s ∩ u ⊆ t ∩ u](./textos/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy//Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.thy)).\n-   19 [Teorema del emparedado](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Teorema_del_emparedado.md) (En [Lean](./src/Teorema_del_emparedado.lean) y en [Isabelle](./thy/Teorema_del_emparedado.thy)).\n-   18 [s ∩ (s ∪ t) = s](./textos/Interseccion_con_su_union.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_su_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_su_union.thy)).\n-   17 [Si uₙ y vₙ convergen a 0, entonces uₙvₙ converge a 0](./textos/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.md) (En [Lean](./src/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.thy)).\n-   16 [El límite de u es a syss el de u-a es 0](./textos/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.md) (En [Lean](./src/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.lean) y en [Isabelle](./thy/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.thy)).\n-   15 [Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de cuₙ es ca](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Limite_multiplicado_por_una_constante.md) (En [Lean](./src/Limite_multiplicado_por_una_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_multiplicado_por_una_constante.thy)).\n-   12 [Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de uₙ+c es a+c](./textos/Limite_cuando_se_suma_una_constante.md) (En [Lean](./src/Limite_cuando_se_suma_una_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_cuando_se_suma_una_constante.thy)).\n-   06 [Unicidad del límite de las sucesiones convergentes](./textos/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.md) (En [Lean4](./src/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.thy)).\n-   05 [Si la sucesión s converge a b y la t a c, entonces s+t converge a b+c](./textos/Convergencia_de_la_suma.md) (En [Lean4](./src/Convergencia_de_la_suma.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_la_suma_de_sucesiones_convergentes.thy)).\n-   02 [La sucesión constante sₙ = c converge a c](./textos/Convergencia_de_la_sucesion_constante.md) (en [Lean4](./src/Convergencia_de_la_sucesion_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_sucesiones_constantes.thy)).\n-   01 [En ℝ, si 1 \u003c a, entonces a \u003c aa](./textos/Demostracion_por_conversion.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_conversion.lean)).\n\n\n### January 2024\n\n-   31 [En ℝ, |a| = |a - b + b|](./textos/Demostracion_por_congruencia.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_congruencia.lean)).\n-   30 [Las funciones f(x,y) = (x + y)² y g(x,y) = x² + 2xy + y² son iguales](./textos/Demostracion_por_extensionalidad.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_extensionalidad.lean)).\n-   29 [La raíz cuadrada de 2 es irracional](./textos/Irracionalidad_de_la_raiz_cuadrada_de_2.md) (En [Lean](./src/Irracionalidad_de_la_raiz_cuadrada_de_2.lean)).\n-   26 [Si n² es par, entonces n es par](./textos/Par_si_cuadrado_par.md) (En [Lean4](./src/Par_si_cuadrado_par.lean)).\n-   25 [Existen infinitos números primos](./textos/Infinitud_de_primos.md) (En [Lean4](./src/Infinitud_de_primos.lean)).\n-   24 [(P → Q) ↔ ¬P ∨ Q](./textos/Implicacion_mediante_disyuncion_y_negacion.md) (En [Lean4](./src/Implicacion_mediante_disyuncion_y_negacion.lean)).\n-   23 [¬¬P → P](./textos/Eliminacion_doble_negacion.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_doble_negacion.lean)).\n-   22 [En ℝ, x² = y² → x = y ∨ x = -y](./textos/Cuadrado_igual_a_cuadrado.md) (En [Lean4](./src/Cuadrado_igual_a_cuadrado.lean)).\n-   19 [En ℝ, x² = 1 → x = 1 ∨ x = -1](./textos/Cuadrado_igual_a_uno.md) (En [Lean4](./src/Cuadrado_igual_a_uno.lean)).\n-   18 [Si (∃ x, y ∈ ℝ)(z = x² + y² ∨ z = x² + y² + 1), entonces z ≥ 0](./textos/Desigualdad_con_rcases.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_con_rcases.lean)).\n-   17 [Si m divide a n o a k, entonces m divide a nk](./textos/CS_de_divisibilidad_del_producto.md) (En [Lean4](./src/CS_de_divisibilidad_del_producto.lean)).\n-   16 [En ℝ, si x ≠ 0 entonces x \u003c 0 ó x \u003e 0](./textos/Eliminacion_de_la_disyuncion_con_rcases.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_de_la_disyuncion_con_rcases.lean)).\n-   15 [En ℝ, |x + y| ≤ |x| + |y|](./textos/Desigualdad_triangular_para_valor_absoluto.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_triangular_para_valor_absoluto.lean)).\n-   12 [En ℝ, -x ≤ |x|](./textos/Cota_inf2_de_abs.md) (En [Lean4](./src/Cota_inf2_de_abs.lean)).\n-   11 [En ℝ, x ≤ |x|](./textos/Cota_inf_de_abs.md) (En [Lean4](./src/Cota_inf_de_abs.lean)).\n-   10 [En ℝ, si x \u003c |y|, entonces x \u003c y ó x \u003c -y](./textos/Eliminacion_de_la_disyuncion.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_de_la_disyuncion.lean)).\n-   09 [En ℝ, -y \u003e x² + 1 ⊢ y \u003e 0 ∨ y \u003c -1](./textos/Introduccion_de_la_disyuncion_2.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_disyuncion_2.lean)).\n-   08 [En ℝ, y \u003e x² ⊢ y \u003e 0 ∨ y \u003c -1](./textos/Introduccion_de_la_disyuncion_1.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_disyuncion_1.lean)).\n-   05 [Si ≤ es un preorden, entonces \u003c es transitiva](./textos/Preorden_transitiva.md) (En [Lean4](./src/Preorden_transitiva.lean)).\n-   04 [Si ≤ es un preorden, entonces \u003c es irreflexiva](./textos/Preorden_es_irreflexivo.md) (En [Lean4](./src/Preorden_es_irreflexivo.lean)).\n-   03 [En los órdenes parciales, a \u003c b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b](./textos/Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.md) (En [Lean4](./src/Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.lean)).\n-   02 [La función x ↦ -x no es monótona creciente](./textos/La_opuesta_es_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/La_opuesta_es_no_monotona.lean)).\n-   01 [f: ℝ → ℝ no es monótona syss (∃x,y)(x ≤ y ∧ f(x) \u003e f(y))​](./textos/CNS-de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CNS_de_no_monotona.lean)).\n\n\n## 2023\n\n\n### December 2023\n\n-   29 [3 divide al máximo común divisor de 6 y 15](./textos/Divisor_del_mcd.md) (En [Lean4](./src/Divisor_del_mcd.lean)).\n-   28 [Si |x + 3| \u003c 5, entonces -8 \u003c x \u003c 2](./textos/Acotacion_del_valor_absoluto.md) (En [Lean4](./src/Acotacion_del_valor_absoluto.lean)).\n-   27 [En ℝ, x² + y² = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0](./textos/Suma_nula_de_dos_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Suma_nula_de_dos_cuadrados.lean)).\n-   26 [En ℝ, si x ≤ y, entonces y ≰ x ↔ x ≠ y](./textos/CNS_de_distintos.md) (En [Lean4](./src/CNS_de_distintos.lean)).\n-   25 [En ℝ, x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ y ≰ x](./textos/Entre_desigualdades.md) (En [Lean4](./src/Entre_desigualdades.lean)).\n-   18 [Existen números primos m y n tales que 4 \u003c m \u003c n \u003c 10](./textos/Primos_intermedios.md) (En [Lean4](./src/Primos_intermedios.lean)).\n-   15 [Si (∃z ∈ ℝ)(x \u003c z \u003c y), entonces x \u003c y](./textos/Menor_por_intermedio.md) (En [Lean4](./src/Menor_por_intermedio.lean)).\n-   14 [(∃x ∈ ℝ)(2 \u003c x \u003c 3)​](./textos/Entre_2_y_3.md) (En [Lean4](./src/Entre_2_y_3.lean)).\n-   13 [Si (m ∣ n ∧ m ≠ n), entonces (m ∣ n ∧ ¬(n ∣ m))](./textos/Uso_de_conjuncion.md) (En [Lean4](./src/Uso_de_conjuncion.lean)).\n-   12 [x ≤ y ∧ x ≠ y ⊢ y ≰ x](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Eliminacion_de_la_conjuncion.md) (En [Lean4](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/src/Eliminacion_de_la_conjuncion.lean)).\n-   11 [{x ≤ y, y ≰ x} ⊢ x ≤ y ∧ x ≠ y](./textos/Introduccion_de_la_conjuncion.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_conjuncion.lean)).\n-   08 [Si 0 \u003c 0, entonces a \u003e 37 para cualquier número a](./textos/Principio_de_explosion.md) (En [Lean4](./src/Principio_de_explosion.lean)).\n-   07 [Si f no es monótona, entonces ∃x∃y(x ≤ y ∧ f(y) \u003c f(x))​](./textos/CN_de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CN_de_no_monotona.lean)).\n-   06 [Si ¬(∀a)(∃x)(f(x) \u003e a)​, entonces f está acotada superiormente](./textos/CS_de_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/CS_de_acotada_superiormente.lean)).\n-   05 [Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)(f(x) \u003e a)​](./textos/CN_no_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/CN_no_acotada_superiormente.lean)).\n-   04 [P → ¬¬P](./textos/Introduccion_doble_negacion.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_doble_negacion.lean)).\n-   01 [¬¬P → P](./textos/Eliminacion_doble_negacion.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_doble_negacion.lean)).\n\n\n### November 2023\n\n-   30 [Si (∃x)¬P(x), entonces ¬(∀x)P(x)](./textos/No_para_todo_de_existe_no.md) (En [Lean4](./src/No_para_todo_de_existe_no.lean)).\n-   29 [Si ¬(∀x)P(x), entonces (∃x)¬P(x)](./textos/Existe_no_de_no_para_todo.md) (En [Lean4](./src/Existe_no_de_no_para_todo.lean)).\n-   28 [Si (∀x)¬P(x), entonces ¬(∃x)P(x)](./textos/No_existe_de_para_todo_no.md) (En [Lean4](./src/No_existe_de_para_todo_no.lean)).\n-   27 [Si ¬(∃x)P(x), entonces (∀x)¬P(x)](./textos/Para_todo_no_de_no_existe.md) (En [Lean4](./src/Para_todo_no_de_no_existe.lean)).\n-   24 [Si (∀ε \u003e 0)(x ≤ ε), entonces x ≤ 0](./textos/Condicion_para_no_positivo.md) (En [Lean4](./src/Condicion_para_no_positivo.lean)).\n-   23 [No para toda f : ℝ → ℝ monótona, (∀a,b)(f(a) ≤ f(b) → a ≤ b)​](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Propiedad_de_monotona.md) (En [Lean4](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/src/Propiedad_de_monotona.lean)).\n-   22 [Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) \u003c f(a), entonces f no es monótona](./textos/CS_de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CS_de_no_monotona.lean)).\n-   21 [Si f es monótona y f(a) \u003c f(b), entonces a \u003c b](./textos/CN_de_monotona.md) (En [Lean4](./src/CN_de_monotona.lean)).\n-   20 [La función identidad no está acotada superiormente](./textos/La_identidad_no_esta_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/La_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean)).\n-   17 [Si para cada a existe un x tal que f(x) \u003c a, entonces f no tiene cota inferior](./textos/Funcion_no_acotada_inferiormente.md) (En [Lean4](./src/Funcion_no_acotada_inferiormente.lean)).\n-   16 [Si para cada a existe un x tal que f(x) \u003e a, entonces f no tiene cota superior](./textos/Funcion_no_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Funcion_no_acotada_superiormente.lean)).\n-   15 [En ℝ, a \u003c b → ¬(b \u003c a)](./textos/Asimetria_de_menor.md) (En [Lean4](./src/Asimetria_de_menor.lean)).\n-   14 [La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva](./textos/Composicion_de_suprayectivas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_suprayectivas.lean)).\n-   13 [Si f: ℝ → ℝ es suprayectiva, entonces ∃x ∈ ℝ tal que f(x)² = 9](./textos/Propiedad_de_suprayectivas.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_de_suprayectivas.lean)).\n-   10 [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx + d) es suprayectiva](./textos/Producto_por_no_nula_y_suma_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_no_nula_y_suma_es_suprayectiva.lean)).\n-   09 [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es suprayectiva](./textos/Producto_por_no_nula_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_no_nula_es_suprayectiva.lean)).\n-   08 [La función (x ↦ x + c) es suprayectiva](./textos/Suma_constante_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Suma_constante_es_suprayectiva.lean)).\n-   07 [Si a divide a b y a c, entonces divide a b+c](./textos/Suma_divisible.md) (En [Lean4](./src/Suma_divisible.lean)).\n-   06 [Transitividad de la divisibilidad](./textos/Transitividad_de_la_divisibilidad.md) (En [Lean4](./src/Transitividad_de_la_divisibilidad.lean)).\n-   03 [Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es](./textos/Producto_de_suma_de_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_suma_de_cuadrados.lean)).\n-   02 [Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c·f también lo está](./textos/Producto_por_escalar_acotado_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_escalar_acotado_superiormente.lean)).\n-   01 [Si a es una cota superior de f y c ≥ 0, entonces ca es una cota superior de cf](./textos/Cota_superior_de_producto_por_escalar.md) (En [Lean4](./src/Cota_superior_de_producto_por_escalar.lean)).\n\n\n### October 2023\n\n-   31 [La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está](./textos/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.lean)).\n-   30 [La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está](./textos/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.lean)).\n-   27 [Hay algún número real entre 2 y 3](./textos/Existencia_de_valor_intermedio.md) (En [Lean4](./src/Existencia_de_valor_intermedio.lean)).\n-   26 [La composición de funciones inyectivas es inyectiva](./textos/Composicion_de_funciones_inyectivas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_funciones_inyectivas.lean)).\n-   25 [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es inyectiva](./textos/Producto_constante_no_nula_es_inyectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_constante_no_nula_es_inyectiva.lean)).\n-   24 [La función (x ↦ x + c) es inyectiva](./textos/Suma_constante_es_inyectiva.md) (En [Lean4](./src/Suma_constante_es_inyectiva.lean)).\n-   23 [Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s](./textos/Cotas_superiores_de_conjuntos.md) (En [Lean4](./src/Cotas_superiores_de_conjuntos.lean)).\n-   20 [Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t](./textos/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.lean)).\n-   19 [Para cualquier conjunto s, s ⊆ s](./textos/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.lean)).\n-   18 [Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par](./textos/Composicion_de_par_e_impar.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_par_e_impar.lean)).\n-   17 [El producto de una función par por una impar es impar](./textos/Producto_funcion_par_e_impar.md) (En [Lean4](./src/Producto_funcion_par_e_impar.lean)).\n-   16 [El producto de dos funciones impares es par](./textos/Producto_de_funciones_impares.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_funciones_impares.lean)).\n-   13 [La suma de dos funciones pares es par](./textos/Suma_funciones_pares.md) (En [Lean4](./src/Suma_funciones_pares.lean)).\n-   12 [La composición de dos funciones monótonas es monótona](./textos/Composicion_de_funciones_monotonas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_funciones_monotonas.lean)).\n-   11 [Si c es no negativo y f es monótona, entonces cf es monótona.](./textos/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.lean)).\n-   10 [Suma de funciones monótonas](./textos/Suma_de_funciones_monotonas.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_monotonas.lean)).\n-   09 [Si a es una cota superior no negativa de f y b es es una cota superior de la función no negativa g, entonces ab es una cota superior de fg](./textos/Cota_superior_del_producto.md) (En [Lean4](./src/Cota_superior_del_producto.lean)).\n-   06 [El producto de funciones no negativas es no negativo](./textos/Producto_de_funciones_no_negativas.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_funciones_no_negativas.lean)).\n-   05 [La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g](./textos/Suma_de_cotas_inferiores.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_cotas_inferiores.lean)).\n-   04 [La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g](./textos/Suma_de_cotas_superiores.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_cotas_superiores.lean)).\n-   03 [En ℝ, {0 \u003c ε, ε ≤ 1, |x| \u003c ε, |y| \u003c ε} ⊢ |xy| \u003c ε](./textos/Acotacion_del_producto.md) (En [Lean4](./src/Acotacion_del_producto.lean)).\n-   02 [En los espacios métricos, dist(x,y) ≥ 0](./textos/Ejercicio_en_espacios_metricos.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_en_espacios_metricos.lean)).\n\n\n### September 2023\n\n-   29 [En los anillos ordenados, {a ≤ b, 0 ≤ c} ⊢ ac ≤ bc](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_3.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_3.lean)).\n-   28 [En los anillos ordenados, 0 ≤ b - a → a ≤ b](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_2.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_2.lean)).\n-   27 [En los anillos ordenados, a ≤ b → 0 ≤ b - a](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_1.lean)).\n-   26 [En los retículos, una distributiva del supremos implica la otra](./textos/Propiedad_distributiva_2.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_distributiva_2.lean)).\n-   25 [En los retículos, una distributiva del ínfimo implica la otra](./textos/propiedad_distributiva_1.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_distributiva_1.lean)).\n-   22 [En los retículos, x ⊔ (x ⊓ y) = x](./textos/Leyes_de_absorcion_2.md) (En [Lean4](./src/Leyes_de_absorcion_2.lean)).\n-   21 [En los retículos, x ⊓ (x ⊔ y) = x](./textos/Leyes_de_absorcion_1.md) (En [Lean4](./src/Leyes_de_absorcion_1.lean)).\n-   20 [En los retículos, (x ⊔ y) ⊔ z = x ⊔ (y ⊔ z)](./textos/Asociatividad_del_supremo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_supremo.lean)).\n-   19 [En los retículos, (x ⊓ y) ⊓ z = x ⊓ (y ⊓ z)](./textos/Asociatividad_del_infimo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_infimo.lean)).\n-   18 [En los retículos, x ⊔ y = y ⊔ x](./textos/Conmutatividad_del_supremo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_supremo.lean)).\n-   17 [En los retículos, x ⊓ y = y ⊓ x](./textos/Conmutatividad_del_infimo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_infimo.lean)).\n-   14 [Conmutatividad del máximo común divisor](./textos/Conmutatividad_del_gcd.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_gcd.lean)).\n-   13 [Si x divide a w, también divide a y(xz)+x²+w²](./textos/Ejercicio_de_divisibilidad.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_de_divisibilidad.lean)).\n-   12 [Si x, y, z ∈ ℕ, entonces x divide a yxz](./textos/Divisibilidad_de_producto.md) (En [Lean4](./src/Divisibilidad_de_producto.lean)).\n-   11 [En ℝ, |a| - |b| ≤ |a - b|](./textos/abs_sub.md) (En [Lean4](./src/abs_sub.lean)).\n-   10 [En ℝ, min(a,b)+c = min(a+c,b+c)](./textos/Minimo_de_suma.md) (En [Lean4](./src/Minimo_de_suma.lean)).\n-   07 [En ℝ, min(min(a,b),c) = min(a,min(b,c))](./textos/Asociatividad_del_minimo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_minimo.lean)).\n-   06 [En ℝ, max(a,b) = max(b,a)](./textos/Conmutatividad_del_maximo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_maximo.lean)).\n-   05 [En ℝ, min(a,b) = min(b,a)](./textos/Conmutatividad_del_minimo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_minimo.lean)).\n-   04 [En ℝ, |ab| ≤ (a²+b²)/2](./textos/Ejercicio_desigualdades_absolutas.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_desigualdades_absolutas.lean)).\n-   01 [En ℝ, 2ab ≤ a² + b²](./textos/Doble_me_suma_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Doble_me_suma_cuadrados.lean)).\n\n\n### August 2023\n\n-   31 [En ℝ, si a ≤ b, entonces c - e\u003csup\u003eb\u003c/sup\u003e ≤ c - e\u003csup\u003ea\u003c/sup\u003e](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_4.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_4.lean)).\n-   30 [En ℝ, si a ≤ b, entonces log(1+e\u003csup\u003ea\u003c/sup\u003e) ≤ log(1+e\u003csup\u003eb\u003c/sup\u003e)](./textos/Desigualdad_logaritmica.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_logaritmica.lean)).\n-   29 [En ℝ, si d ≤ f, entonces c + e\u003csup\u003e(a + d)\u003c/sup\u003e ≤ c + e\u003csup\u003e(a + f)\u003c/sup\u003e](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_3.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_3.lean)).\n-   28 [En ℝ, si a ≤ b y c \u003c d, entonces a + eᶜ + f ≤ b + eᵈ + f](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_2.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_2.lean)).\n-   25 [En ℝ, si 1 ≤ a y b ≤ d, entonces 2 + a + eᵇ ≤ 3a + eᵈ](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales.lean)).\n-   24 [En ℝ, si 2a ≤ 3b, 1 ≤ a y d = 2, entonces d + a ≤ 5b](./textos/Inecuaciones.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones.lean)).\n-   23 [En ℝ, si a ≤ b, b \u003c c, c ≤ d y d \u003c e, entonces a \u003c e](./textos/Cadena_de_desigualdades.md) (En [Lean4](./src/Cadena_de_desigualdades.lean)).\n-   18 [Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a·1 = a](./textos/Producto_por_uno.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_uno.lean)).\n-   17 [Si G es un grupo y a ∈ G, entonces aa⁻¹ = 1](./textos/Producto_por_inverso.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_inverso.lean)).\n-   16 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 2a = a+a](./textos/Producto_por_dos.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_dos.lean)).\n-   15 [En los anillos, 1 + 1 = 2](./textos/Uno_mas_uno_es_dos.md) (En [Lean4](./src/Uno_mas_uno_es_dos.lean)).\n-   14 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a - a = 0](./textos/Resta_consigo_mismo.md) (En [Lean4](./src/Resta_consigo_mismo.lean)).\n-   11 [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces a - b = a + -b](./textos/Resta_igual_suma_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Resta_igual_suma_opuesto.lean)).\n-   10 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a](./textos/Opuesto_del_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_del_opuesto.lean)).\n-   09 [Si R es un anillo, entonces -0 = 0](./textos/Opuesto_del_cero.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_del_cero.lean)).\n-   08 [Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces a=-b](./textos/Ig_opuesto_si_suma_ig_cero.md) (En [Lean4](./src/Ig_opuesto_si_suma_ig_cero.lean)).\n-   07 [Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces -a=b](./textos/Opuesto_ig_si_suma_ig_cero.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_ig_si_suma_ig_cero.lean)).\n-   04 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0](./textos/Multiplicacion_por_cero_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Multiplicacion_por_cero_izquierda.lean)).\n-   03 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a.0 = 0](./textos/Multiplicacion_por_cero.md) (En [Lean4](./src/Multiplicacion_por_cero.lean)).\n-   02 [Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=c+b, entonces a=c](./textos/Cancelativa_derecha.md) (En [Lean4](./src/Cancelativa_derecha.lean)).\n-   01 [Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=a+c, entonces b=c](./textos/Cancelativa_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Cancelativa_izquierda.lean)).\n\n\n### July 2023\n\n-   31 [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a](./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.lean)).\n-   28 [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b](./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.lean)).\n-   27 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0](./textos/Suma_con_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Suma_con_opuesto.lean)).\n-   26 [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a](./textos/Suma_con_cero.md) (En [Lean4](./src/Suma_con_cero.lean)).\n-   25 [En ℝ, si a+b = c, entonces (a+b)(a+b) = ac+bc](./textos/Sia+b_eq_c_entonces_(a+b)(a+b)_eq_ac+bc.md) (En [Lean4](./src/Sia+b_eq_c_entonces_(a+b)(a+b)_eq_ac+bc.lean)).\n-   24 [En ℝ, si c = da+b y b = ad, entonces c = 2ad](./textos/Si_c_eq_da+b_y_b_eq_ad_entonces_c_eq_2ad.md) (En [Lean4](./src/Si_c_eq_da+b_y_b_eq_ad_entonces_c_eq_2ad.lean)).\n-   21 [En ℝ, (a+b)(a-b) = a\u003csup\u003e2\u003c/sup\u003e-b\u003csup\u003e2\u003c/sup\u003e](./textos/(a+b)(a-b)_eq_aa-bb.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(a-b)_eq_aa-bb.lean)).\n-   20 [En ℝ, (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd](./textos/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.lean)).\n-   19 [En ℝ, (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd](./textos/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.lean)).\n-   18 [En ℝ, si c = ba-d y d = ab, entonces c = 0](./textos/Si_c_eq_ba-d_y_d_eq_ab_entonces_c_eq_0.md) (En [Lean4](./src/Si_c_eq_ba-d_y_d_eq_ab_entonces_c_eq_0.lean)).\n-   17 [En ℝ, si bc = ef, entonces ((ab)c)d = ((ae)f)d](./textos/Si_bc_eq_ef_entonces_((ab)c)d_eq_((ae)f)d.md) (En [Lean4](./src/Si_bc_eq_ef_entonces_((ab)c)d_eq_((ae)f)d.lean)).\n-   14 [En ℝ, si ab = cd y e = f, entonces a(be) = c(df)](./textos/a(be)_eq_c(df).md) (En [Lean4](./src/a(be)_eq_c(df).lean)).\n-   13 [En ℝ, a(bc) = b(ac)](./textos/a(bc)_eq_b(ac).md) (En [Lean4](./src/a(bc)_eq_b(ac).lean)).\n-   12 [En ℝ, (cb)a = b(ac)](./textos/(cb)a_eq_b(ac).md) (En [Lean4](./src/(cb)a_eq_b(ac).lean)).\n-   11 [En ℝ, (ab)c = b(ac)](./textos/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.md) (En [Lean4](./src/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.lean)).\n-   10 [∀ m n ∈ ℕ, Even n → Even (m \\* n)](./textos/El_producto_por_un_par_es_par.md) (En [Lean4](./src/El_producto_por_un_par_es_par.lean)).\n\n\n## 2020\n\n\n### February 2020\n\n-   24 [Praeclarum theorema](./textos/2020/02/24-Praeclarum_theorema.md) (En [Isabelle](./thy/Praeclarum_theorema.thy)).\n\n\n### January 2020\n\n-   01 [Nicomachus’s theorem](https://jaalonso.github.io/calculemus/posts/2025/01/03-nicomachus_theorem/) (In [Lean4](./src/Nicomachus_theorem.lean) and [Isabelle](./thy/Nicomachus_theorem.thy)).\n\n\n# Exercises organized by topics\n\nNote: The following classification includes only the exercises up to June 24, 2024.\n\n\n## Demostraciones de una propiedad de los números enteros\n\n-   [∀ m n ∈ ℕ, Even n → Even (m \\* n)](./textos/El_producto_por_un_par_es_par.md) (En [Lean4](./src/El_producto_por_un_par_es_par.lean)).\n\n\n## Propiedades elementales de los números reales\n\n-   [En ℝ, (ab)c = b(ac)](./textos/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.md) (En [Lean4](./src/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.lean)).\n-   [En ℝ, (cb)a = b(ac)](./textos/(cb)a_eq_b(ac).md) (En [Lean4](./src/(cb)a_eq_b(ac).lean)).\n-   [En ℝ, a(bc) = b(ac)](./textos/a(bc)_eq_b(ac).md) (En [Lean4](./src/a(bc)_eq_b(ac).lean)).\n-   [En ℝ, si ab = cd y e = f, entonces a(be) = c(df)](./textos/a(be)_eq_c(df).md) (En [Lean4](./src/a(be)_eq_c(df).lean)).\n-   [En ℝ, si bc = ef, entonces ((ab)c)d = ((ae)f)d](./textos/Si_bc_eq_ef_entonces_((ab)c)d_eq_((ae)f)d.md) (En [Lean4](./src/Si_bc_eq_ef_entonces_((ab)c)d_eq_((ae)f)d.lean)).\n-   [En ℝ, si c = ba-d y d = ab, entonces c = 0](./textos/Si_c_eq_ba-d_y_d_eq_ab_entonces_c_eq_0.md) (En [Lean4](./src/Si_c_eq_ba-d_y_d_eq_ab_entonces_c_eq_0.lean)).\n-   [En ℝ, (a+b)(a+b) = aa+2ab+bb](./textos/(a+b)(a+b)_eq_aa+2ab+bb.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(a+b)_eq_aa+2ab+bb.lean)).\n-   [En ℝ, (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd](./textos/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(c+d)_eq_ac+ad+bc+bd.lean)).\n-   [En ℝ, (a+b)(a-b) = a\u003csup\u003e2\u003c/sup\u003e-b\u003csup\u003e2\u003c/sup\u003e](./textos/(a+b)(a-b)_eq_aa-bb.md) (En [Lean4](./src/(a+b)(a-b)_eq_aa-bb.lean)).\n-   [En ℝ, si c = da+b y b = ad, entonces c = 2ad](./textos/Si_c_eq_da+b_y_b_eq_ad_entonces_c_eq_2ad.md) (En [Lean4](./src/Si_c_eq_da+b_y_b_eq_ad_entonces_c_eq_2ad.lean)).\n-   [En ℝ, si a+b = c, entonces (a+b)(a+b) = ac+bc](./textos/Sia+b_eq_c_entonces_(a+b)(a+b)_eq_ac+bc.md) (En [Lean4](./src/Sia+b_eq_c_entonces_(a+b)(a+b)_eq_ac+bc.lean)).\n-   [Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es](./textos/Producto_de_suma_de_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_suma_de_cuadrados.lean)).\n-   [En ℝ, x² + y² = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0](./textos/Suma_nula_de_dos_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Suma_nula_de_dos_cuadrados.lean)).\n-   [En ℝ, x² = 1 → x = 1 ∨ x = -1](./textos/Cuadrado_igual_a_uno.md) (En [Lean4](./src/Cuadrado_igual_a_uno.lean)).\n-   [En ℝ, x² = y² → x = y ∨ x = -y](./textos/Cuadrado_igual_a_cuadrado.md) (En [Lean4](./src/Cuadrado_igual_a_cuadrado.lean)).\n-   [En ℝ, |a| = |a - b + b|](./textos/Demostracion_por_congruencia.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_congruencia.lean)).\n\n\n## Propiedades elementales de los monoides\n\n-   [En los monoides, los inversos a la izquierda y a la derecha son iguales](./textos/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.md) (En [Lean](./src/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.lean) y en [Isabelle](./thy/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.thy)).\n-   [Producto de potencias de la misma base en monoides](./textos/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.thy)).\n-   [Equivalencia de inversos iguales al neutro](./textos/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.md) (En [Lean](./src/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.lean) y en [Isabelle](./thy/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.thy)).\n-   [Unicidad de inversos en monoides](./textos/Unicidad_de_inversos_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Unicidad_de_inversos_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_de_inversos_en_monoides.thy)).\n-   [Caracterización de producto igual al primer factor](./textos/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.md) (En [Lean](./src/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.lean) y en [Isabelle](./thy/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.thy)).\n-   [Si M es un monoide, a ∈ M y m, n ∈ ℕ, entonces a\u003csup\u003e(m·n)\u003c/sup\u003e = (a\u003csup\u003em\u003c/sup\u003e)\u003csup\u003en\u003c/sup\u003e](./textos/Potencias_de_potencias_en_monoides.md) (En [Lean](./src/Potencias_de_potencias_en_monoides.lean) y en [Isabelle](./thy/Potencias_de_potencias_en_monoides.thy)).\n-   [Los monoides booleanos son conmutativos](./textos/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.md) (En [Lean](./src/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.lean) y en [Isabelle](./thy/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.thy)).\n\n\n## Propiedades elementales de los grupos\n\n-   [Unicidad del elemento neutro en los grupos](./textos/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.md) (En [Lean](./src/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.thy)).\n-   [Si G es un grupo y a ∈ G, entonces aa⁻¹ = 1](./textos/Producto_por_inverso.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_inverso.lean)).\n-   [Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a·1 = a](./textos/Producto_por_uno.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_uno.lean)).\n-   [Si G es un grupo y a, b ∈ G tales que ab = 1 entonces a⁻¹ = b](./textos/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.md) (En [Lean](./src/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.thy)).\n-   [Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹](./textos/Inverso_del_producto.md) (En [Lean](./src/Inverso_del_producto.lean) y en [Isabelle](./thy/Inverso_del_producto.thy)).\n-   [Si G un grupo y a ∈ G, entonces (a⁻¹)⁻¹ = a](./textos/Inverso_de_inverso_en_grupos.md) (En [Lean](./src/Inverso_del_inverso_en_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Inverso_del_inverso_en_grupos.thy)).\n-   [Si G es un grupo y a, b, c ∈ G tales que a·b = a·c, entonces b = c](./textos/Propiedad_cancelativa_en_grupos.md) (En [Lean](./src/Propiedad_cancelativa_en_grupos.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_cancelativa_en_grupos.thy)).\n\n\n## Propiedades elementales de los anillos\n\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + 0 = a](./textos/Suma_con_cero.md) (En [Lean4](./src/Suma_con_cero.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a + -a = 0](./textos/Suma_con_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Suma_con_opuesto.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b](./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a](./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=a+c, entonces b=c](./textos/Cancelativa_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Cancelativa_izquierda.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a+b=c+b, entonces a=c](./textos/Cancelativa_derecha.md) (En [Lean4](./src/Cancelativa_derecha.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a.0 = 0](./textos/Multiplicacion_por_cero.md) (En [Lean4](./src/Multiplicacion_por_cero.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0](./textos/Multiplicacion_por_cero_izquierda.md) (En [Lean4](./src/Multiplicacion_por_cero_izquierda.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces -a=b](./textos/Opuesto_ig_si_suma_ig_cero.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_ig_si_suma_ig_cero.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces a=-b](./textos/Ig_opuesto_si_suma_ig_cero.md) (En [Lean4](./src/Ig_opuesto_si_suma_ig_cero.lean)).\n-   [Si R es un anillo, entonces -0 = 0](./textos/Opuesto_del_cero.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_del_cero.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a](./textos/Opuesto_del_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Opuesto_del_opuesto.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces a - b = a + -b](./textos/Resta_igual_suma_opuesto.md) (En [Lean4](./src/Resta_igual_suma_opuesto.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a - a = 0](./textos/Resta_consigo_mismo.md) (En [Lean4](./src/Resta_consigo_mismo.lean)).\n-   [En los anillos, 1 + 1 = 2](./textos/Uno_mas_uno_es_dos.md) (En [Lean4](./src/Uno_mas_uno_es_dos.lean)).\n-   [Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 2a = a+a](./textos/Producto_por_dos.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_dos.lean)).\n\n\n## Propiedades de orden en los números reales\n\n-   [En ℝ, si a ≤ b, b \u003c c, c ≤ d y d \u003c e, entonces a \u003c e](./textos/Cadena_de_desigualdades.md) (En [Lean4](./src/Cadena_de_desigualdades.lean)).\n-   [En ℝ, si 2a ≤ 3b, 1 ≤ a y d = 2, entonces d + a ≤ 5b](./textos/Inecuaciones.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones.lean)).\n-   [En ℝ, si 1 ≤ a y b ≤ d, entonces 2 + a + eᵇ ≤ 3a + eᵈ](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales.lean)).\n-   [En ℝ, si a ≤ b y c \u003c d, entonces a + eᶜ + f ≤ b + eᵈ + f](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_2.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_2.lean)).\n-   [En ℝ, si d ≤ f, entonces c + e\u003csup\u003e(a + d)\u003c/sup\u003e ≤ c + e\u003csup\u003e(a + f)\u003c/sup\u003e](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_3.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_3.lean)).\n-   [En ℝ, si a ≤ b, entonces log(1+e\u003csup\u003ea\u003c/sup\u003e) ≤ log(1+e\u003csup\u003eb\u003c/sup\u003e)](./textos/Desigualdad_logaritmica.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_logaritmica.lean)).\n-   [En ℝ, si a ≤ b, entonces c - e\u003csup\u003eb\u003c/sup\u003e ≤ c - e\u003csup\u003ea\u003c/sup\u003e](./textos/Inecuaciones_con_exponenciales_4.md) (En [Lean4](./src/Inecuaciones_con_exponenciales_4.lean)).\n-   [En ℝ, 2ab ≤ a² + b²](./textos/Doble_me_suma_cuadrados.md) (En [Lean4](./src/Doble_me_suma_cuadrados.lean)).\n-   [En ℝ, |ab| ≤ (a²+b²)/2](./textos/Ejercicio_desigualdades_absolutas.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_desigualdades_absolutas.lean)).\n-   [En ℝ, min(a,b) = min(b,a)](./textos/Conmutatividad_del_minimo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_minimo.lean)).\n-   [En ℝ, max(a,b) = max(b,a)](./textos/Conmutatividad_del_maximo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_maximo.lean)).\n-   [En ℝ, min(min(a,b),c) = min(a,min(b,c))](./textos/Asociatividad_del_minimo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_minimo.lean)).\n-   [En ℝ, min(a,b)+c = min(a+c,b+c)](./textos/Minimo_de_suma.md) (En [Lean4](./src/Minimo_de_suma.lean)).\n-   [En ℝ, |a| - |b| ≤ |a - b|](./textos/abs_sub.md) (En [Lean4](./src/abs_sub.lean)).\n-   [En ℝ, {0 \u003c ε, ε ≤ 1, |x| \u003c ε, |y| \u003c ε} ⊢ |xy| \u003c ε](./textos/Acotacion_del_producto.md) (En [Lean4](./src/Acotacion_del_producto.lean)).\n-   [En ℝ, a \u003c b → ¬(b \u003c a)](./textos/Asimetria_de_menor.md) (En [Lean4](./src/Asimetria_de_menor.lean)).\n-   [Hay algún número real entre 2 y 3](./textos/Existencia_de_valor_intermedio.md) (En [Lean4](./src/Existencia_de_valor_intermedio.lean)).\n-   [Si (∀ε \u003e 0)(x ≤ ε), entonces x ≤ 0](./textos/Condicion_para_no_positivo.md) (En [Lean4](./src/Condicion_para_no_positivo.lean)).\n-   [Si 0 \u003c 0, entonces a \u003e 37 para cualquier número a](./textos/Principio_de_explosion.md) (En [Lean4](./src/Principio_de_explosion.lean)).\n-   [{x ≤ y, y ≰ x} ⊢ x ≤ y ∧ x ≠ y](./textos/Introduccion_de_la_conjuncion.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_conjuncion.lean)).\n-   [x ≤ y ∧ x ≠ y ⊢ y ≰ x](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Eliminacion_de_la_conjuncion.md) (En [Lean4](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/src/Eliminacion_de_la_conjuncion.lean)).\n-   [(∃x ∈ ℝ)(2 \u003c x \u003c 3)​](./textos/Entre_2_y_3.md) (En [Lean4](./src/Entre_2_y_3.lean)).\n-   [Si (∃z ∈ ℝ)(x \u003c z \u003c y), entonces x \u003c y](./textos/Menor_por_intermedio.md) (En [Lean4](./src/Menor_por_intermedio.lean)).\n-   [En ℝ, x ≤ y ∧ x ≠ y → x ≤ y ∧ y ≰ x](./textos/Entre_desigualdades.md) (En [Lean4](./src/Entre_desigualdades.lean)).\n-   [En ℝ, si x ≤ y, entonces y ≰ x ↔ x ≠ y](./textos/CNS_de_distintos.md) (En [Lean4](./src/CNS_de_distintos.lean)).\n-   [Si |x + 3| \u003c 5, entonces -8 \u003c x \u003c 2](./textos/Acotacion_del_valor_absoluto.md) (En [Lean4](./src/Acotacion_del_valor_absoluto.lean)).\n-   [En ℝ, y \u003e x² ⊢ y \u003e 0 ∨ y \u003c -1](./textos/Introduccion_de_la_disyuncion_1.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_disyuncion_1.lean)).\n-   [En ℝ, -y \u003e x² + 1 ⊢ y \u003e 0 ∨ y \u003c -1](./textos/Introduccion_de_la_disyuncion_2.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_de_la_disyuncion_2.lean)).\n-   [En ℝ, si x \u003c |y|, entonces x \u003c y ó x \u003c -y](./textos/Eliminacion_de_la_disyuncion.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_de_la_disyuncion.lean)).\n-   [En ℝ, x ≤ |x|](./textos/Cota_inf_de_abs.md) (En [Lean4](./src/Cota_inf_de_abs.lean)).\n-   [En ℝ, -x ≤ |x|](./textos/Cota_inf2_de_abs.md) (En [Lean4](./src/Cota_inf2_de_abs.lean)).\n-   [En ℝ, |x + y| ≤ |x| + |y|](./textos/Desigualdad_triangular_para_valor_absoluto.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_triangular_para_valor_absoluto.lean)).\n-   [En ℝ, si x ≠ 0 entonces x \u003c 0 ó x \u003e 0](./textos/Eliminacion_de_la_disyuncion_con_rcases.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_de_la_disyuncion_con_rcases.lean)).\n-   [Si (∃ x, y ∈ ℝ)(z = x² + y² ∨ z = x² + y² + 1), entonces z ≥ 0](./textos/Desigualdad_con_rcases.md) (En [Lean4](./src/Desigualdad_con_rcases.lean)).\n-   [En ℝ, si 1 \u003c a, entonces a \u003c aa](./textos/Demostracion_por_conversion.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_conversion.lean)).\n-   [Si x, y ∈ ℝ tales que (∀ z)[y \u003c z → x ≤ z], entonces x ≤ y](./textos/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.md) (En [Lean](./src/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.thy)).\n\n\n## Divisibilidad\n\n-   [Si x, y, z ∈ ℕ, entonces x divide a yxz](./textos/Divisibilidad_de_producto.md) (En [Lean4](./src/Divisibilidad_de_producto.lean)).\n-   [Si x divide a w, también divide a y(xz)+x²+w²](./textos/Ejercicio_de_divisibilidad.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_de_divisibilidad.lean)).\n-   [Transitividad de la divisibilidad](./textos/Transitividad_de_la_divisibilidad.md) (En [Lean4](./src/Transitividad_de_la_divisibilidad.lean)).\n-   [Si a divide a b y a c, entonces divide a b+c](./textos/Suma_divisible.md) (En [Lean4](./src/Suma_divisible.lean)).\n-   [Conmutatividad del máximo común divisor](./textos/Conmutatividad_del_gcd.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_gcd.lean)).\n-   [Si (m ∣ n ∧ m ≠ n), entonces (m ∣ n ∧ ¬(n ∣ m))](./textos/Uso_de_conjuncion.md) (En [Lean4](./src/Uso_de_conjuncion.lean)).\n-   [Existen números primos m y n tales que 4 \u003c m \u003c n \u003c 10](./textos/Primos_intermedios.md) (En [Lean4](./src/Primos_intermedios.lean)).\n-   [3 divide al máximo común divisor de 6 y 15](./textos/Divisor_del_mcd.md) (En [Lean4](./src/Divisor_del_mcd.lean)).\n-   [Si m divide a n o a k, entonces m divide a nk](./textos/CS_de_divisibilidad_del_producto.md) (En [Lean4](./src/CS_de_divisibilidad_del_producto.lean)).\n-   [Existen infinitos números primos](./textos/Infinitud_de_primos.md) (En [Lean4](./src/Infinitud_de_primos.lean)).\n-   [Si n² es par, entonces n es par](./textos/Par_si_cuadrado_par.md) (En [Lean4](./src/Par_si_cuadrado_par.lean)).\n-   [La raíz cuadrada de 2 es irracional](./textos/Irracionalidad_de_la_raiz_cuadrada_de_2.md) (En [Lean](./src/Irracionalidad_de_la_raiz_cuadrada_de_2.lean)).\n-   [Un número es par si y solo si lo es su cuadrado](./textos/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.md) (En [Lean](./src/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean) y en [Isabelle](./thy/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.thy)).\n\n\n## Retículos\n\n-   [En los retículos, x ⊓ y = y ⊓ x](./textos/Conmutatividad_del_infimo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_infimo.lean)).\n-   [En los retículos, x ⊔ y = y ⊔ x](./textos/Conmutatividad_del_supremo.md) (En [Lean4](./src/Conmutatividad_del_supremo.lean)).\n-   [En los retículos, (x ⊓ y) ⊓ z = x ⊓ (y ⊓ z)](./textos/Asociatividad_del_infimo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_infimo.lean)).\n-   [En los retículos, (x ⊔ y) ⊔ z = x ⊔ (y ⊔ z)](./textos/Asociatividad_del_supremo.md) (En [Lean4](./src/Asociatividad_del_supremo.lean)).\n-   [En los retículos, x ⊓ (x ⊔ y) = x](./textos/Leyes_de_absorcion_1.md) (En [Lean4](./src/Leyes_de_absorcion_1.lean)).\n-   [En los retículos, x ⊔ (x ⊓ y) = x](./textos/Leyes_de_absorcion_2.md) (En [Lean4](./src/Leyes_de_absorcion_2.lean)).\n-   [En los retículos, una distributiva del ínfimo implica la otra](./textos/propiedad_distributiva_1.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_distributiva_1.lean)).\n-   [En los retículos, una distributiva del supremos implica la otra](./textos/Propiedad_distributiva_2.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_distributiva_2.lean)).\n\n\n## Relaciones de orden\n\n-   [En los órdenes parciales, a \u003c b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b](./textos/Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.md) (En [Lean4](./src/Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.lean)).\n-   [Si ≤ es un preorden, entonces \u003c es irreflexiva](./textos/Preorden_es_irreflexivo.md) (En [Lean4](./src/Preorden_es_irreflexivo.lean)).\n-   [Si ≤ es un preorden, entonces \u003c es transitiva](./textos/Preorden_transitiva.md) (En [Lean4](./src/Preorden_transitiva.lean)).\n\n\n## Relaciones de equivalencia\n\n-   [La congruencia módulo 2 es una relación de equivalencia](./textos/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.md) (En [Lean](./src/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.lean) y en [Isabelle](./thy/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.thy)).\n\n\n## Anillos ordenados\n\n-   [En los anillos ordenados, a ≤ b → 0 ≤ b - a](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_1.lean)).\n-   [En los anillos ordenados, 0 ≤ b - a → a ≤ b](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_2.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_2.lean)).\n-   [En los anillos ordenados, {a ≤ b, 0 ≤ c} ⊢ ac ≤ bc](./textos/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_3.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_sobre_anillos_ordenados_3.lean)).\n\n\n## Espacios métricos\n\n-   [En los espacios métricos, dist(x,y) ≥ 0](./textos/Ejercicio_en_espacios_metricos.md) (En [Lean4](./src/Ejercicio_en_espacios_metricos.lean)).\n\n\n## Funciones reales\n\n-   [La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g](./textos/Suma_de_cotas_superiores.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_cotas_superiores.lean)).\n-   [La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g](./textos/Suma_de_cotas_inferiores.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_cotas_inferiores.lean)).\n-   [El producto de funciones no negativas es no negativo](./textos/Producto_de_funciones_no_negativas.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_funciones_no_negativas.lean)).\n-   [Si a es una cota superior no negativa de f y b es es una cota superior de la función no negativa g, entonces ab es una cota superior de fg](./textos/Cota_superior_del_producto.md) (En [Lean4](./src/Cota_superior_del_producto.lean)).\n-   [La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está](./textos/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.lean)).\n-   [La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está](./textos/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.lean)).\n-   [Si a es una cota superior de f y c ≥ 0, entonces ca es una cota superior de cf](./textos/Cota_superior_de_producto_por_escalar.md) (En [Lean4](./src/Cota_superior_de_producto_por_escalar.lean)).\n-   [Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c·f también lo está](./textos/Producto_por_escalar_acotado_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_escalar_acotado_superiormente.lean)).\n-   [Si para cada a existe un x tal que f(x) \u003e a, entonces f no tiene cota superior](./textos/Funcion_no_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/Funcion_no_acotada_superiormente.lean)).\n-   [Si para cada a existe un x tal que f(x) \u003c a, entonces f no tiene cota inferior](./textos/Funcion_no_acotada_inferiormente.md) (En [Lean4](./src/Funcion_no_acotada_inferiormente.lean)).\n-   [La función identidad no está acotada superiormente](./textos/La_identidad_no_esta_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/La_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean)).\n-   [Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)(f(x) \u003e a)​](./textos/CN_no_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/CN_no_acotada_superiormente.lean)).\n-   [Si ¬(∀a)(∃x)(f(x) \u003e a)​, entonces f está acotada superiormente](./textos/CS_de_acotada_superiormente.md) (En [Lean4](./src/CS_de_acotada_superiormente.lean)).\n-   [Suma de funciones monótonas](./textos/Suma_de_funciones_monotonas.md) (En [Lean4](./src/Suma_de_funciones_monotonas.lean)).\n-   [Si c es no negativo y f es monótona, entonces cf es monótona.](./textos/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.lean)).\n-   [La composición de dos funciones monótonas es monótona](./textos/Composicion_de_funciones_monotonas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_funciones_monotonas.lean)).\n-   [Si f es monótona y f(a) \u003c f(b), entonces a \u003c b](./textos/CN_de_monotona.md) (En [Lean4](./src/CN_de_monotona.lean)).\n-   [Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) \u003c f(a), entonces f no es monótona](./textos/CS_de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CS_de_no_monotona.lean)).\n-   [No para toda f : ℝ → ℝ monótona, (∀a,b)(f(a) ≤ f(b) → a ≤ b)​](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Propiedad_de_monotona.md) (En [Lean4](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/src/Propiedad_de_monotona.lean)).\n-   [Si f no es monótona, entonces ∃x∃y(x ≤ y ∧ f(y) \u003c f(x))​](./textos/CN_de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CN_de_no_monotona.lean)).\n-   [f: ℝ → ℝ no es monótona syss (∃x,y)(x ≤ y ∧ f(x) \u003e f(y))​](./textos/CNS-de_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/CNS_de_no_monotona.lean)).\n-   [La función x ↦ -x no es monótona creciente](./textos/La_opuesta_es_no_monotona.md) (En [Lean4](./src/La_opuesta_es_no_monotona.lean)).\n-   [La suma de dos funciones pares es par](./textos/Suma_funciones_pares.md) (En [Lean4](./src/Suma_funciones_pares.lean)).\n-   [El producto de dos funciones impares es par](./textos/Producto_de_funciones_impares.md) (En [Lean4](./src/Producto_de_funciones_impares.lean)).\n-   [El producto de una función par por una impar es impar](./textos/Producto_funcion_par_e_impar.md) (En [Lean4](./src/Producto_funcion_par_e_impar.lean)).\n-   [Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par](./textos/Composicion_de_par_e_impar.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_par_e_impar.lean)).\n-   [Las funciones f(x,y) = (x + y)² y g(x,y) = x² + 2xy + y² son iguales](./textos/Demostracion_por_extensionalidad.md) (En [Lean4](./src/Demostracion_por_extensionalidad.lean)).\n-   [La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente](./textos/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.md) (En [Lean](./src/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean) y en [Isabelle](./thy/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.thy)).\n-   [Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad](./textos/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.md) (En [Lean](./src/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean) y en [Isabelle](./thy/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.thy)).\n-   [Si \\`f(x) ≤ f(y) → x ≤ y\\`, entonces f es inyectiva](./textos/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.md) (En [Lean](./src/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.thy)).\n-   [Las funciones con inversa por la izquierda son inyectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.thy)).\n-   [Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva](./textos/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.md) (En [Lean4](./src/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.lean) y en [Isabelle](./thy/Inyectiva_si_lo_es_la_composicion.thy)).\n\n\n## Teoría de conjuntos\n\n-   [Para cualquier conjunto s, s ⊆ s](./textos/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.lean)).\n-   [Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t](./textos/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.lean)).\n-   [Si s ⊆ t, entonces s ∩ u ⊆ t ∩ u](./textos/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy//Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.thy)).\n-   [s ∩ (t ∪ u) ⊆ (s ∩ t) ∪ (s ∩ u)](./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.md) (En [Lean](./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.thy)).\n-   [(s \\\\ t) \\\\ u ⊆ s \\\\ (t ∪ u)](./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   [(s ∩ t) ∪ (s ∩ u) ⊆ s ∩ (t ∪ u)](./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.md) (En [Lean](./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.lean) y en [Isabelle](./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.thy)).\n-   [s \\\\ (t ∪ u) ⊆ (s \\\\ t) \\\\ u](./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   [s ∩ t = t ∩ s](./textos/Conmutatividad_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Conmutatividad_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Conmutatividad_de_la_interseccion.thy)).\n-   [s ∩ (s ∪ t) = s](./textos/Interseccion_con_su_union.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_su_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_su_union.thy)).\n-   [s ∪ (s ∩ t) = s](./textos/Union_con_su_interseccion.md) (En [Lean](./src/Union_con_su_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_su_interseccion.thy)).\n-   [(s \\\\ t) ∪ t = s ∪ t](./textos/Union_con_su_diferencia.md) (En [Lean](./src/Union_con_su_diferencia.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_su_diferencia.thy)).\n-   [(s \\\\ t) ∪ (t \\\\ s) = (s ∪ t) \\\\ (s ∩ t)](./textos/Diferencia_de_union_e_interseccion.md) (En [Lean](./src/Diferencia_de_union_e_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Diferencia_de_union_e_interseccion.thy)).\n-   [pares ∪ impares = naturales](./textos/Union_de_pares_e_impares.md) (En [Lean](./src/Union_de_pares_e_impares.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_de_pares_e_impares.thy)).\n-   [Los primos mayores que 2 son impares](./textos/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.md) (En [Lean](./src/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.thy)).\n-   [s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s)](./textos/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.thy)).\n-   [(⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i)](./textos/Interseccion_de_intersecciones.md) (En [Lean](./src/Interseccion_de_intersecciones.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_de_intersecciones.thy)).\n-   [s ∪ (⋂ i, A i) = ⋂ i, (A i ∪ s)](./textos/Union_con_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Union_con_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_interseccion_general.thy)).\n-   [f⁻¹[u ∩ v] = f⁻¹[u] ∩ f⁻¹[v]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion.thy)).\n-   [f[s ∪ t] = f[s] ∪ f[t]​](./textos/Imagen_de_la_union.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_union.thy)).\n-   [s ⊆ f⁻¹[f[s]​]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_imagen.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen.thy)).\n-   [f[s] ⊆ u ↔ s ⊆ f⁻¹[u]​](./textos/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   [Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s](./textos/Cotas_superiores_de_conjuntos.md) (En [Lean4](./src/Cotas_superiores_de_conjuntos.lean)).\n-   [La función (x ↦ x + c) es inyectiva](./textos/Suma_constante_es_inyectiva.md) (En [Lean4](./src/Suma_constante_es_inyectiva.lean)).\n-   [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es inyectiva](./textos/Producto_constante_no_nula_es_inyectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_constante_no_nula_es_inyectiva.lean)).\n-   [La composición de funciones inyectivas es inyectiva](./textos/Composicion_de_funciones_inyectivas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_funciones_inyectivas.lean)).\n-   [La función (x ↦ x + c) es suprayectiva](./textos/Suma_constante_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Suma_constante_es_suprayectiva.lean)).\n-   [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es suprayectiva](./textos/Producto_por_no_nula_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_no_nula_es_suprayectiva.lean)).\n-   [Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx + d) es suprayectiva](./textos/Producto_por_no_nula_y_suma_es_suprayectiva.md) (En [Lean4](./src/Producto_por_no_nula_y_suma_es_suprayectiva.lean)).\n-   [Si f: ℝ → ℝ es suprayectiva, entonces ∃x ∈ ℝ tal que f(x)² = 9](./textos/Propiedad_de_suprayectivas.md) (En [Lean4](./src/Propiedad_de_suprayectivas.lean)).\n-   [La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva](./textos/Composicion_de_suprayectivas.md) (En [Lean4](./src/Composicion_de_suprayectivas.lean)).\n-   [Si f es inyectiva, entonces f⁻¹[f[s]​] ⊆ s](./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.thy)).\n-   [f[f⁻¹[u]​] ⊆ u](./textos/Imagen_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   [Si f es suprayectiva, entonces u ⊆ f[f⁻¹[u]​]​](./textos/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.thy)).\n-   [Si s ⊆ t, entonces f[s] ⊆ f[t]​](./textos/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.thy)).\n-   [Si u ⊆ v, entonces f⁻¹[u] ⊆ f⁻¹[v]​](./textos/Monotonia_de_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Monotonia_de_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Monotonia_de_la_imagen_inversa.thy)).\n-   [f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B]​](./textos/Imagen_inversa_de_la_union.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_union.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_union.thy)).\n-   [f[s ∩ t] ⊆ f[s] ∩ f[t]​](./textos/Imagen_de_la_interseccion.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion.thy)).\n-   [Si f es inyectiva, entonces f[s] ∩ f[t] ⊆ f[s ∩ t]​](./textos/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.thy)).\n-   [f[s] \\\\ f[t] ⊆ f[s \\\\ t]​](./textos/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.thy)).\n-   [f[s] ∩ v = f[s ∩ f⁻¹[v]​]​](./textos/Interseccion_con_la_imagen.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_la_imagen.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_la_imagen.thy)).\n-   [Unión con la imagen](./textos/Union_con_la_imagen.md) (En [Lean](./src/Union_con_la_imagen.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_la_imagen.thy)).\n-   [Intersección con la imagen](./textos/Interseccion_con_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Interseccion_con_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Interseccion_con_la_imagen_inversa.thy)).\n-   [Unión con la imagen inversa](./textos/Union_con_la_imagen_inversa.md) (En [Lean](./src/Union_con_la_imagen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Union_con_la_imagen_inversa.thy)).\n-   [Imagen de la unión general](./textos/Imagen_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_union_general.thy)).\n-   [Imagen de la intersección general](./textos/Imagen_de_la_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_general.thy)).\n-   [Imagen de la intersección general mediante aplicaciones inyectivas](./textos/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.md) (En [Lean](./src/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.thy)).\n-   [Imagen inversa de la unión general](./textos/Imagen_inversa_de_la_union_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_union_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_union_general.thy)).\n-   [Imagen inversa de la intersección general](./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.md) (En [Lean](./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.lean) y en [Isabelle](./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.thy)).\n-   [Teorema de Cantor](./textos/Teorema_de_Cantor.md) (En [Lean](./src/Teorema_de_Cantor.lean) y en [Isabelle](./thy/Teorema_de_Cantor.thy)).\n-   [Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva](./textos/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.md) (En [Lean4](./src/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.lean) y en [Isabelle](./thy/Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion.thy)).\n-   [Las funciones inyectivas tienen inversa por la izquierda](./textos/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.thy)).\n-   [Las funciones con inversa por la derecha son suprayectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.thy)).\n-   [Las funciones suprayectivas tienen inversa por la derecha](./textos/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.thy)).\n-   [Las funciones con inversa son biyectivas](./textos/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.thy)).\n-   [Las funciones biyectivas tienen inversa](./textos/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.md) (En [Lean](./src/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.lean) y en [Isabelle](./thy/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.thy)).\n-   [La equipotencia es una relación reflexiva](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.thy)).\n-   [La inversa de una función es biyectiva](./textos/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.md) (En [Lean](./src/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.thy)).\n-   [La equipotencia es una relación simétrica](./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.md) (En [Lean](./src/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.lean) y en [Isabelle](./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.thy)).\n-   [La composición de funciones biyectivas es biyectiva](./textos/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.md) (En [Lean](./src/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.lean) y en [Isabelle](./thy/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.thy)).\n\n\n## Lógica\n\n-   [Si ¬(∃x)P(x), entonces (∀x)¬P(x)](./textos/Para_todo_no_de_no_existe.md) (En [Lean4](./src/Para_todo_no_de_no_existe.lean)).\n-   [Si (∀x)¬P(x), entonces ¬(∃x)P(x)](./textos/No_existe_de_para_todo_no.md) (En [Lean4](./src/No_existe_de_para_todo_no.lean)).\n-   [Si ¬(∀x)P(x), entonces (∃x)¬P(x)](./textos/Existe_no_de_no_para_todo.md) (En [Lean4](./src/Existe_no_de_no_para_todo.lean)).\n-   [Si (∃x)¬P(x), entonces ¬(∀x)P(x)](./textos/No_para_todo_de_existe_no.md) (En [Lean4](./src/No_para_todo_de_existe_no.lean)).\n-   [¬¬P → P](./textos/Eliminacion_doble_negacion.md) (En [Lean4](./src/Eliminacion_doble_negacion.lean)).\n-   [P → ¬¬P](./textos/Introduccion_doble_negacion.md) (En [Lean4](./src/Introduccion_doble_negacion.lean)).\n-   [(P → Q) ↔ ¬P ∨ Q](./textos/Implicacion_mediante_disyuncion_y_negacion.md) (En [Lean4](./src/Implicacion_mediante_disyuncion_y_negacion.lean)).\n-   [La paradoja del barbero](./textos/La_paradoja_del_barbero.md) (En [Lean](./src/La_paradoja_del_barbero.lean) y en [Isabelle](./thy/La_paradoja_del_barbero.thy)).\n\n\n## Límites de sucesiones\n\n-   [La sucesión constante sₙ = c converge a c](./textos/Convergencia_de_la_sucesion_constante.md) (en [Lean4](./src/Convergencia_de_la_sucesion_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_sucesiones_constantes.thy)).\n-   [Si la sucesión s converge a b y la t a c, entonces s+t converge a b+c](./textos/Convergencia_de_la_suma.md) (En [Lean4](./src/Convergencia_de_la_suma.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_la_suma_de_sucesiones_convergentes.thy)).\n-   [Unicidad del límite de las sucesiones convergentes](./textos/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.md) (En [Lean4](./src/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean) y en [Isabelle](./thy/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.thy)).\n-   [Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de uₙ+c es a+c](./textos/Limite_cuando_se_suma_una_constante.md) (En [Lean](./src/Limite_cuando_se_suma_una_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_cuando_se_suma_una_constante.thy)).\n-   [Si el límite de la sucesión uₙ es a y c ∈ ℝ, entonces el límite de cuₙ es ca](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Limite_multiplicado_por_una_constante.md) (En [Lean](./src/Limite_multiplicado_por_una_constante.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_multiplicado_por_una_constante.thy)).\n-   [El límite de u es a syss el de u-a es 0](./textos/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.md) (En [Lean](./src/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.lean) y en [Isabelle](./thy/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.thy)).\n-   [Si uₙ y vₙ convergen a 0, entonces uₙvₙ converge a 0](./textos/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.md) (En [Lean](./src/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.thy)).\n-   [Teorema del emparedado](file:///home/jalonso/alonso/estudio/Calculemus2/textos/Teorema_del_emparedado.md) (En [Lean](./src/Teorema_del_emparedado.lean) y en [Isabelle](./thy/Teorema_del_emparedado.thy)).\n-   [Los supremos de las sucesiones crecientes son sus límites](./textos/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.md) (En [Lean](./src/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.lean) y en [Isabelle](./thy/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.thy)).\n-   [Las sucesiones convergentes están acotadas](./textos/Acotacion_de_convergentes.md) (En [Lean](./src/Acotacion_de_convergentes.lean) y en [Isabelle](./thy/Acotacion_de_convergentes.thy)).\n-   [Si (∀n)[uₙ ≤ vₙ], entonces lim uₙ ≤ lim vₙ](./textos/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.md) (En [Lean](./src/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.thy)).\n-   [Si uₙ está acotada y lim vₙ = 0, entonces lim (uₙ·vₙ) = 0](./textos/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.md) (En [Lean](./src/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.lean) y en [Isabelle](./thy/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.thy)).\n-   [Si el límite de la sucesión uₙ es a, entonces el límite de -uₙ es -a](./textos/Limite_de_la_opuesta.md) (En [Lean](./src/Limite_de_la_opuesta.lean) y en [Isabelle](./thy/Limite_de_la_opuesta.thy)).\n\n","project_url":"https://awesome.ecosyste.ms/api/v1/projects/github.com%2Fjaalonso%2Fcalculemus2","html_url":"https://awesome.ecosyste.ms/projects/github.com%2Fjaalonso%2Fcalculemus2","lists_url":"https://awesome.ecosyste.ms/api/v1/projects/github.com%2Fjaalonso%2Fcalculemus2/lists"}