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# Anotaçoes
Repositório com algumas anotações e ideias pessoais.:
# Notação Geral
Para intervalos vamos definir similaridade de forma a comparar caracteristica de abertura/fechamento:
$$
I_1 \sim_{\tau} I_2 \iff
\begin{cases}
I_1 \text{ e } I_2 \text{ são ambos abertos} \\
I_1 \text{ e } I_2 \text{ são ambos fechados} \\
I_1 \text{ e } I_2 \text{ são ambos semiabertos à esquerda} \\
I_1 \text{ e } I_2 \text{ são ambos semiabertos à direita}
\end{cases}
$$
E também iremos definir:
$$
\bar{I} =
\begin{cases}
[a, b] & \text{se } I = (a, b) \\
(a, b) & \text{se } I = [a, b] \\
[a, b) & \text{se } I = (a, b] \\
(a, b] & \text{se } I = [a, b)
\end{cases}
$$
# Conjunto dos Intervalos Repetidos Infinitos Complementares
Vamos definir um conjunto $S \subset \mathbb{R}$ de intervalos de tamanho constante $\delta > 0$ e separados por uma distância fixa $d > 0$. Cada intervalo $I_n$ do conjunto $S$ pode ser da forma:
- Intervalos fechados: $I_n = [a_n, a_n + \delta]$
- Intervalos abertos: $I_n = (a_n, a_n + \delta)$
- Intervalos semi-abertos (semi-fechados): $I_n = [a_n, a_n + \delta)$ ou $I_n = (a_n, a_n + \delta]$
onde $a_{n+1} = a_n + \delta + d$ para $n \in \mathbb{Z}$ e também $a_n= a_0 + n\delta + nd$.
## Conjunto $S$
Podemos definir o conjunto $S$ como a união de todos esses intervalos:
$$S = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} I_n$$
## Propriedades de $S$
1. **Intervalos de Tamanho Constante**: Todos os intervalos $I_n$ têm o mesmo comprimento $\delta$.
2. **Intervalos Separados**: A distância entre dois intervalos consecutivos $I_n$ e $I_{n+1}$ é $d$.
3. **Infinito**: O conjunto $S$ é infinito porque é a união de uma sequência infinita de intervalos.
## Complemento de $S$ com Mesmo Tamanho
O complemento de $S$, denotado por $S^c$ , no espaço $\mathbb{R}$ deve consistir em intervalos de tamanho $d$ e separados por $\delta$. Assim, definimos:
- Os intervalos complementares $J_n$ são os intervalos entre os intervalos $I_n$.
- Se $I_n = [a_n, a_n + \delta]$, então $J_n = (a_n + \delta, a_{n+1}) = (a_n + \delta, a_n + \delta + d)$.
- Se $I_n = (a_n, a_n + \delta)$, então $J_n = [a_n + \delta, a_{n+1}] = [a_n + \delta, a_n + \delta + d]$.
- Se $I_n = [a_n, a_n + \delta)$, então $J_n = [a_n + \delta, a_{n+1}) = [a_n + \delta, a_n + \delta + d)$.
- Se $I_n = (a_n, a_n + \delta]$, então $J_n = (a_n + \delta, a_{n+1}] = (a_n + \delta, a_n + \delta + d]$.
Temos como propriedade de caso o conjunto for left-open e right-closed, o complemento também será left-open e right closed,
da mesma forma se ele for right open e left closed o complemento também será intervalos right open e left closed, já conjuntos abertos tem complementos fechados e fechados tem complementos abertos, logo:
$$
I_n \sim_{\tau} \bar{J}_n
$$
## Definição de $S^c$
O conjunto $S^c$ pode então ser definido como:
$$S^c = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} J_n$$
onde $J_n$ são intervalos de tamanho $d$ que complementam os intervalos $I_n$ de $S$.
## Exemplo
Vamos tomar $a_0 = 0$ e $\delta = 2$ e $d = 1$ logo:
- Para intervalos fechados: $I_n = [2n, 2n+2]$.
- Os intervalos complementares são $J_n = (2n+2, 2n+3)$.
Então:
$$S = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [2n, 2n+2]$$
$$S^c = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (2n+2, 2n+3)$$
## Exemplo 2
Vamos tomar $a_0 = - \frac{\pi}{4}$ e $\delta = \pi$ e $d = \frac{\pi}{2}$ logo:
- Para intervalos fechados: $I_n = [n\pi - \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{\pi}{4}]$.
- Os intervalos complementares são $J_n = (n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{3\pi}{4})$.
Então:
$$S = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n\pi - \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{\pi}{4}]$$
$$S^c = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{3\pi}{4})$$
Que também equivale que S é $[n\pi - \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{\pi}{4}]$ para todo $n$ é numero inteiro.
# Funções Piecewise
Dado $f$ uma função da qual $f: A \to B$, $g_n$ uma sequencia de sub-funções e $P_n$ uma sequencia de proposições lógicas que retornam Verdadeiro ou Falso, aonde $n$ é um número natural, temos:
$$
f(x)= \begin{cases}
g_0(x), & \text{Se } P_0 \text{ é Verdadeiro}, \\
g_1(x), & \text{Se } P_1 \text{ é Verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
g_k(x), & \text{Se } P_k \text{ é Verdadeiro} \\
\end{cases}
$$
Utilizando notação de iverson, temos como equivalente.
$$f(x)=\sum_{i=0}^{k}{g_i(x)[P_i]}$$
### Nova Definição para $P_k$:
Para garantir que $f(x)$ selecione $g_k(x)$ quando nenhuma das proposições $P_0$ a $P_{k-1}$ for verdadeira, definimos $P_k$, aonde $k$ é uma constante, como:
$$
P_k = \bigwedge_{i=0}^{k-1}{\neg P_i}
$$
Ou seja $P_k$ é "diferente" de $P_0$ até $P_k-1$, como resultado disso $f(x)$ se torna:
$$
f(x)= \begin{cases}
g_0(x), & \text{Se } P_0 \text{ é Verdadeiro}, \\
g_1(x), & \text{Se } P_1 \text{ é Verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
g_{k-1}(x), & \text{Se } P_{k-1} \text{ é Verdadeiro} \\
g_{k}(x), & \text{Diferente} \\
\end{cases}
$$
Com essa nova definição de $P_k$ e utilizando Notação de Iverson, temos como equivalente.
$$f(x)=\sum_{i=0}^{k-1}{g_i(x)[P_i]} + g_k(x)\prod_{i=0}^{k-1}(1-[P_i])$$
## Código Exemplo
```python
# Função piecewise definida em Python
def f(x, propositions, functions):
k = len(functions) - 1
for i in range(k):
if propositions[i](x):
return functions[i](x)
return functions[k](x)
propositions = [
lambda x: x < 0,
lambda x: x >= 0 and x < 5
#, lambda x: x >= 5
]
functions = [
lambda x: x**2,
lambda x: 3*x + 1,
lambda x: -x + 10
]
print(f(-2, propositions, functions)) # Deve usar a primeira função: (-2)^2 = 4
print(f(3, propositions, functions)) # Deve usar a segunda função: 3*3 + 1 = 10
print(f(6, propositions, functions)) # Deve usar a terceira função: -6 + 10 = 4
```
# Exclusão em Funções Piecewise
Dado sequencias de proposições lógicas $P_n$ e $Q_n$ aonde para todo $m,n \in \mathbb{N}$ aonde $m \neq n$ temos $P_n \implies \neg P_m$ e $P_n \implies Q_n$ e $g_n$ e $h_{n,m}$ sendo duas sequencias de subfunções, e $k$ uma constante e $n \leq k$, definimos:
$$f(x)= \begin{cases}
g_0(x), & \text{Se } P_0 \text{ é Verdadeiro}, \\
g_1(x), & \text{Se } P_1 \text{ é Verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
g_k(x), & \text{Se } P_k \text{ é Verdadeiro} \\
\end{cases}$$
$$g_n(x)= \begin{cases}
h_{n,0}(x), & \text{Se } Q_0 \text{ é Verdadeiro}, \\
h_{n,1}(x), & \text{Se } Q_1 \text{ é Verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
h_{n,k}(x), & \text{Se } Q_k \text{ é Verdadeiro} \\
\end{cases}$$
Logo:
$$f(x)=
\begin{cases}
h_{0,0}(x), & \text{Se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
h_{1,1}(x), & \text{Se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
h_{k,k}(x), & \text{Se } P_k \text{ é verdadeiro}
\end{cases}$$
## Prova
### Passo 1: Demonstração que $f(x) = g_n(x)$ para algum $n$ com $P_n$ verdadeiro
Escolhemos um valor $n$ tal que $P_n$ é verdadeiro e $n \leq k$. Pela definição de $f(x)$, temos:
$$f(x) = g_n(x) \quad \text{se} \quad P_n \text{ é verdadeiro}$$
### Passo 2: Exclusão das outras possibilidades $P_m$ com $m \neq n $
Sabemos que $P_n \implies \neg P_m$ para $m \neq n$. Isso implica que $f(x) \neq g_m(x)$ para todos os $m \neq n$. Portanto, a função $f(x)$ é unicamente determinada por $g_n(x)$ quando $P_n$ é verdadeiro.
### Passo 3: Relação entre $g_n(x)$ e $h_{n,n}(x)$
Sabemos que $P_n \implies Q_n$. Então, pela definição de $g_n(x)$, temos:
$$g_n(x) = h_{n,n}(x) \quad \text{se} \quad Q_n \text{ é verdadeiro}$$
implica em:
$$g_n(x) = h_{n,n}(x) \quad \text{se} \quad P_n \text{ é verdadeiro}$$
### Passo 4: Conclusão final sobre $f(x)$
Combinando os resultados anteriores, para todo $n$ com $n \leq k$ e $P_n$ verdadeiro, temos:
$$f(x) = g_n(x) \quad \text{e} \quad g_n(x) = h_{n,n}(x)$$
Portanto, segue que:
$$f(x) = h_{n,n}(x)$$
Reescrevendo $f(x)$ de forma condicional, obtemos:
$$f(x)=
\begin{cases}
h_{0,0}(x), & \text{Se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
h_{1,1}(x), & \text{Se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
h_{k,k}(x), & \text{Se } P_k \text{ é verdadeiro}
\end{cases}$$
# Extensão de Funções para Funções Piecewise
Dada uma função $f$ com uma definição qualquer e uma sequência de funções que retornam uma proposição lógica $p_n(x)$, onde $p_n: X \to \\{\text{Verdadeiro}, \text{Falso}\\} $, e uma constante $k$. Existe uma sequência de funções $g_n$ onde:
$$g_n(x) = f(x) \quad \text{se} \quad p_0(x) \text{ é verdadeiro}$$
Note que para todo $n$, se $p_n(x)$ for falso, não necessariamente $g_n(x) = f(x)$; é possível que $g_n(x) \neq f(x)$, logo $g_n$ e $f$ podem ser funções diferentes. Portanto:
$$f(x)=
\begin{cases}
g_0(x), & \text{Se } p_0(x) \text{ é verdadeiro}, \\
g_1(x), & \text{Se } p_1(x) \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
g_k(x), & \text{Se } p_k(x) \text{ é verdadeiro}
\end{cases}$$
Neste caso, transformamos uma função qualquer em uma função piecewise, e suas subfunções podem ou não ter uma definição igual à de $f$.
## Prova
Vamos provar que $f(x)$ e sua definição por função piecewise são equivalentes.
### Passo 1: Existência de $g_n(x)$
Para cada $n$, escolhemos um $g_n(x)$ tal que:
$$g_n(x) = f(x) \quad \text{se} \quad p_n(x) \text{ é verdadeiro}$$
### Passo 2: Função $f(x)$ como uma função piecewise
Dado:
$$f(x)=
\begin{cases}
g_0(x), & \text{Se } p_0(x) \text{ é verdadeiro}, \\
g_1(x), & \text{Se } p_1(x) \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
g_k(x), & \text{Se } p_k(x) \text{ é verdadeiro}
\end{cases}$$
### Passo 3: Equivalência entre $f(x)$ e $g_n(x)$
Por definição de $g_n(x)$, se $p_n(x)$ é verdadeiro, então $g_n(x) = f(x)$. Portanto, para todo $n$ com $p_n(x)$ verdadeiro, temos:
$$f(x) = g_n(x)$$
### Passo 4: Reescrita de $f(x)$
Logo:
$$f(x)=
\begin{cases}
f(x), & \text{Se } p_0(x) \text{ é verdadeiro}, \\
f(x), & \text{Se } p_1(x) \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots, & \vdots, \\
f(x), & \text{Se } p_k(x) \text{ é verdadeiro}
\end{cases}$$
### Passo 5: Conclusão
Para todo $p_n(x)$, temos que:
$$f(x)=f(x)$$
O inverso desse processo lógico também é válido.
Portanto, mostramos que uma função $f$ pode ser transformada em uma função piecewise usando subfunções $g_n$, que dependem de $p_n(x)$.
# Funções Piecewise Compostas
Dado sequências de proposições lógicas $P_n$ e $Q_n$ onde para todo $m, n \in \mathbb{N}$ com $m \neq n$, temos $P_n \implies \neg P_m$, e $r_n$ e \$t_{n,m}$ sendo duas sequências de subfunções, e $k$ uma constante com $n \leq k $, definimos:
$$f(x) = \begin{cases}
r_0(x), & \text{se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
r_1(x), & \text{se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
r_n(x), & \text{se } P_n \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
r_k(x), & \text{se } P_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases} $$
onde cada $r_n(x)$ é definido por:
$$r_n(x) = \begin{cases}
t_{n,0}(x), & \text{se } Q_0 \text{ é verdadeiro}, \\
t_{n,1}(x), & \text{se } Q_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
t_{n,k}(x), & \text{se } Q_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases} $$
Vamos simplificar essa expressão substituindo $r_n(x)$ na definição de $f(x)$:
$$f(x) = \begin{cases}
r_0(x), & \text{se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
r_1(x), & \text{se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
\begin{cases}
t_{n,0}(x), & \text{se } Q_0 \text{ é verdadeiro}, \\
t_{n,1}(x), & \text{se } Q_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
t_{n,k}(x), & \text{se } Q_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases}, & \text{se } P_n \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
r_k(x), & \text{se } P_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases} $$
Podemos juntar as condições para os valores de $f(x)$ correspondentes a $r_n(x)$:
$$f(x) = \begin{cases}
r_0(x), & \text{se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
r_1(x), & \text{se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
t_{n,0}(x), & \text{se } P_n \text{ e } Q_0 \text{ são verdadeiros}, \\
t_{n,1}(x), & \text{se } P_n \text{ e } Q_1 \text{ são verdadeiros}, \\
\vdots \\
t_{n,k}(x), & \text{se } P_n \text{ e } Q_k \text{ são verdadeiros}, \\
\vdots \\
r_k(x), & \text{se } P_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases}$$
Se $P_n \implies Q_n$, então sempre que $P_n$ é verdadeiro, $Q_n$ também é verdadeiro. Isso nos permite simplificar ainda mais a expressão, removendo a necessidade de verificar $P_n$ para as subfunções $t_{n,m}(x)$. Como $P_n \implies Q_n$, temos que $Q_n$ é verdadeiro sempre que $P_n$ é verdadeiro. Portanto, as condições para $t_{n,m}(x)$ tornam-se simplesmente:
$$
f(x) = \begin{cases}
r_0(x), & \text{se } P_0 \text{ é verdadeiro}, \\
r_1(x), & \text{se } P_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
t_{n,0}(x), & \text{se } Q_0 \text{ é verdadeiro}, \\
t_{n,1}(x), & \text{se } Q_1 \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
t_{n,k}(x), & \text{se } Q_k \text{ é verdadeiro}, \\
\vdots \\
r_k(x), & \text{se } P_k \text{ é verdadeiro} \\
\end{cases}
$$
Portanto, ao assumirmos que $P_n \implies Q_n$, conseguimos simplificar a expressão original para uma que não requer verificar $P_n$ diretamente para as subfunções $t_{n,m}(x)$, pois a verdade de $P_n$ já garante a verdade de $Q_n$.
## Exemplo 1
Dado a função do valor absoluto definida como:
$$|x| = \begin{cases}
x, & \text{se } x \geq 0, \\
-x, & \text{se } x < 0 \\
\end{cases}$$
Também definimos a função de teto da seguinte forma: dado $x \in \mathbb{R}$ e $\forall n \in \mathbb{Z}$, temos:
$$\lceil{x}\rceil = n \quad \text{se} \quad x \in [n,n+1) $$
Portanto,
$$x + \lceil{x}\rceil = x + n \quad \text{se} \quad x \in [n,n+1) $$
Podemos então considerar a seguinte composição:
$$|x + \lceil{x}\rceil| = \begin{cases}
x + n, & \text{se } x + n \geq 0 \text{ e } x \in [n,n+1), \\
-x - n, & \text{se } x + n < 0 \text{ e } x \in [n,n+1) \\
\end{cases}$$
## Exemplo 2
Dado a função do valor absoluto definida como:
$$|x| = \begin{cases}
x, & \text{se } x \geq 0, \\
-x, & \text{se } x < 0 \\
\end{cases}$$
Também definimos a função de teto da seguinte forma: dado $x \in \mathbb{R}$ e $\forall n \in \mathbb{Z}$, temos:
$$\lceil{x}\rceil = n \quad \text{se} \quad x \in [n,n+1) $$
Portanto,
$$\lceil{x + \alpha}\rceil = n \quad \text{se} \quad (x + \alpha) \in [n,n+1) $$
$$\leadsto \lceil{x + \alpha}\rceil = n \quad \text{se} \quad x \in [n-\alpha,n-\alpha+1) $$
$$\leadsto x - \lceil{x + \alpha}\rceil = x - n \quad \text{se} \quad x \in [n-\alpha,n-\alpha+1) $$
Podemos então considerar a seguinte composição:
$$|x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - n, & \text{se } x + \beta - n \geq 0 \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1), \\
-(x + \beta - n), & \text{se } x + \beta - n < 0 \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1) \\
\end{cases}$$
Reescrevendo:
$$|x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - n, & \text{se } x \geq n - \beta \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1), \\
-(x + \beta - n), & \text{se } x < n - \beta \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1) \\
\end{cases}$$
$$\leadsto |x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - n, & \text{se } x \in [n - \beta,\infty) \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1), \\
-(x + \beta - n), & \text{se } x \in (-\infty , n - \beta) \text{ e } x \in [n-\alpha,n-\alpha+1) \\
\end{cases}$$
$$\leadsto |x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - n, & \text{se } x \in [n - \beta,\infty) \cap [n-\alpha,n-\alpha+1), \\
-(x + \beta - n), & \text{se } x \in (-\infty , n - \beta) \cap [n-\alpha,n-\alpha+1) \\
\end{cases}$$
Suponhamos que $\beta \in [\alpha, \alpha+1)$, então $n - \beta \in [n - \alpha, n - \alpha+1)$, logo:
$$|x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - n, & \text{se } x \in [n - \beta,n-\alpha+1), \\
-(x + \beta - n), & \text{se } x \in [n-\alpha,n - \beta) \\
\end{cases}$$
### Utilizando Intervalos repetidos.
Como $\forall n \in \mathbb{Z}$ temos $[n - \beta,n-\alpha+1)$ e $[n-\alpha,n - \beta)$, reparemos que podemos gerar $S$ e $S^c$, de forma que:
$$S = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n-\alpha,n - \beta)$$
$$S^c = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n - \beta,n-\alpha+1)$$
Que são ***Conjunto dos Intervalos Repetidos Infinitos Complementares***, aonde $a_0=-\alpha$, $\delta = \alpha - \beta$ e $d=1$. Com isso em mente podemos escrever a formula sem precisar verificar para todo $n$, sabendo que condensamos todas as condicionais $\forall n \in \mathbb{Z}$ em $S$ e $S^c$ podemos substituir $n$ por $\lceil{x}\rceil$.
$$|x + \beta - \lceil{x + \alpha}\rceil| = \begin{cases}
x + \beta - \lceil{x}\rceil, & \text{se } x \in S, \\
-(x + \beta - \lceil{x}\rceil), & \text{se } x \in S^c \\
\end{cases}$$
---
# Permutações em espaços densos.
Dado $(M, +, \leq)$ um monóide de adição, ordenado e denso de forma que para qualquer $a,b \in M$ com $a m \implies a_n=b_n$ também implicando que $p_{a_n,b_n}=id_M$ fazendo assim que seja composta de uma quantidade limitada de permutação de pares de intervalos e é claro com esse fato podemos simplificar equação para $\sigma = \prod_{n=1}^{m} p_{a_n,b_n}$.
## Exemplo
Considere $$M = \mathbb{R}$$ (conjunto dos números reais)
### 1. Permutação de par de intervalos
Vamos definir dois intervalos:
- $$I_1 = [0, 1]$$
- $$I_2 = [2, 3]$$
Agora, vamos aplicar a permutação $p_{1,2}(x)$:
$$
p_{1,2}(x) = \begin{cases}
x & x \not\in [0, 1] \land x \not \in [2, 3]\\
x - \min(I_1) + \min(I_2) = x + 2, & x \in [0, 1],\\
x - \min(I_2) + \min(I_1) = x - 2, & x \in [2, 3]\\
\end{cases}
$$
Exemplos:
1. $p_{1,2}(0.5) = 0.5 + 2 = 2.5$
2. $p_{1,2}(2.5) = 2.5 - 2 = 0.5$
3. $p_{1,2}(4) = 4$ (não está em nenhum dos intervalos)
### 2. Função de permutação de espaços densos
Vamos criar uma sequência de intervalos e duas sequências de números naturais:
Intervalos: $I_1 = [0, 1], I_2 = [2, 3], I_3 = [4, 5]$
Sequência a: $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3$
Sequência b: $b_1 = 2, b_2 = 3, b_3 = 1$
Agora, definimos $\sigma = p_{1,2} \circ p_{2,3} \circ p_{3,1}$
Formalmente, podemos escrever:
$$
\sigma = \prod_{n=1}^{3} p_{a_n,b_n} = p_{1,2} \circ p_{2,3} \circ p_{3,1}
$$
Vamos aplicar $\sigma$ a alguns pontos:
1. $\sigma(0.5):$
- $p_{3,1}(0.5) = 0.5$ (não está em $I_3$ nem em $I_1$)
- $p_{2,3}(0.5) = 0.5$ (não está em $I_2$ nem em $I_3$)
- $p_{1,2}(0.5) = 2.5$ (está em $I_1$)
Resultado: $$\sigma(0.5) = 2.5$$
2. $\sigma(2.5):$
- $p_{3,1}(2.5) = 2.5$ (não está em $I_3$ nem em $I_1$)
- $p_{2,3}(2.5) = 4.5$ (está em $I_2$)
- $p_{1,2}(4.5) = 4.5$ (não está em $I_1$ nem em $I_2$)
Resultado: $\sigma(2.5) = 4.5$
3. $\sigma(4.5):$
- $p_{3,1}(4.5) = 0.5$ (está em $I_3$)
- $p_{2,3}(0.5) = 0.5$ (não está em $I_2$ nem em $I_3$)
- $p_{1,2}(0.5) = 2.5$ (está em $I_1$)
Resultado: $\sigma(4.5) = 2.5$
Observe que esta permutação $\sigma$ efetivamente "rotaciona" os elementos entre os três intervalos:
- Elementos de $I_1$ são movidos para $I_2$
- Elementos de $I_2$ são movidos para $I_3$
- Elementos de $I_3$ são movidos para $I_1$
Elementos fora desses intervalos permanecem inalterados, ou seja, $\forall x \not\in I_1 \cup I_2 \cup I_3, \sigma(x) = x$.
Podemos verificar que $\sigma$ é uma bijeção, pois cada elemento tem uma imagem única e todo elemento do conjunto é atingido pela função. Além disso, podemos observar que $\sigma \circ \sigma \circ \sigma = id_{\mathbb{R}}$, ou seja, aplicar $\sigma$ três vezes resulta na função identidade.
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# Trigonométricas
## Notação
Para que não tenha confusões com notação já conhecida $\cos^2(x)=(\cos(x))^2$ eu proponho a seguinte notação
para trigonométricas compostas, em que:
$\cos^{*2}(x)=\cos(\cos(x))$
também:
$\cos^{*n}(x)=\cos \circ \cos \circ ... \circ \cos(x)$
A mesma notação também pode ser utilizada para demais funções trigonométricas.
## Relação 1
1. Subrelação 1.1 \
Para dominio $x \in [n\pi - \frac{\pi}{4}, n\pi + \frac{\pi}{4}]$ aonde $n$ é numero inteiro temos:
$\arccos(\tan(x)) + \arcsin(\tan(x)) = \frac{\pi}{2}$
2. Subrelação 1.2 \
Para dominio $x \in [\cos(1), 1]$ temos:
$\arccos(\arccos(x))+\arcsin(\arccos(x)) = \frac{\pi}{2}$
3. Subrelação 1.3 \
Para dominio $x \in [\sin(1), -\sin(1)]$ temos:
$\arccos(\arcsin(x))+\arcsin(\arcsin(x)) = \frac{\pi}{2}$
Para todos os outros valores de $x$ as determinadas funções acima retornam indefinido.
## Simplificação 1
$\arcsin(\cos(x)) = 2\pi|\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{2}-\lceil(\frac{x}{2\pi}+1)\rceil|-\frac{\pi}{2}$
Aqui está uma implementação eficiente da função, utiliza modulo ao invés de gambiarras matématicas, ignore a formula anterior e de preferencia a essa:
```python
tau = 2 * math.pi
half_pi = math.pi / 2
def arcsin_cos(x):
x_normalized = (x + math.pi) % tau
return half_pi - x_normalized if x_normalized < math.pi else x_normalized - 3*half_pi
```
## Simplificação 2
$\arccos(\sin(x)) = 2\pi|\frac{x}{2\pi}+\frac{3}{4}-\lceil(\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{4})\rceil|$
Implementação eficiente desta função, usando a mesma lógica que o anterior:
```python
tau = 2 * math.pi
half_pi = math.pi / 2
def arccos_sin(x):
x_normalized = (x + 3*half_pi) % tau
return x_normalized if x_normalized < math.pi else -x_normalized + tau
```
## Simplificação 3
A função $\arctan(\tan(x))$ é somente uma inversão no dominio $x \in [\frac{\pi}{2}, - \frac{\pi}{2}]$, para todo x nos reais temos:
$\arctan(\tan(x))= x - \pi\lceil \frac{x}{\pi} - \frac{1}{2}\rceil$
Também para $\arctan(\cot(x))$ temos:
$\arctan(\cot(x))= \pi\lceil \frac{x}{\pi}\rceil - x - \frac{\pi}{2}$
## Simplificação 4
A função $\arccos(\cos(x))$ é somente uma função inversa própria no dominio $x \in [0, \pi]$ \
A função $\arcsin(\sin(x))$ é somente uma função inversa própria no dominio $x \in [\frac{\pi}{2}, - \frac{\pi}{2}]$ \
Para todos o $x$ nos reais temos:
$\arcsin(\sin(x))=2\pi|\frac{x}{2\pi}+\frac{5}{4}-\lceil\frac{x}{2\pi}+\frac{3}{4}\rceil|-\frac{\pi}{2}$
$\arccos(\cos(x))=2\pi|\frac{x}{2\pi}+1-\lceil\frac{x}{2\pi}+\frac{1}{2}\rceil|$
```python
tau = 2 * math.pi
half_pi = math.pi / 2
def arcsin_sin(x):
x_normalized = (x + 3*half_pi) % tau
return half_pi - x_normalized if x_normalized < math.pi else x_normalized - 3*half_pi
def arccos_cos(x):
x_normalized = (x + math.pi) % tau
return math.pi - x_normalized if x_normalized < math.pi else x_normalized - math.pi
```
E para todo $n>1$ temos:
$\arcsin^{*n}(\sin^{*n}(x))= \arcsin(\sin(x))$
$\arccos^{*n}(\cos^{*n}(x))= \pi|\frac{x}{\pi}+1-\lceil\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}\rceil|$
É importante deixar claro que a mesma relação que ocorre com seno não ocorre com cosseno ou seja $\arccos^{*n}(\cos^{*n}(x)) \neq \arccos(\cos(x))$.
## Trivial 1
Fácilmente observavel através de propriedades básicas da trigonometria:
$\arcsin(\tan(x)) = -\arcsin(\cot(x+\frac{\pi}{2}))$
$\arccos(\tan(x)) = -\arccos(\cot(x+\frac{\pi}{2}))+\pi$
## Gráficos 1
Esse gráfico vou chamar de fire-wave pela aparencia, dado $f$ sendo $\arccos$ ou $\arcsin$ ou alguma função periodica com periodo e amplitude pi/2 temos:
$$x_{\text{fire}}(t) = \begin{cases}
f(\tan(x)), & \text{if } f(\cot(x)) \text{ is undefined}, \\
f(\cot(x)), & \text{if } f(\tan(x)) \text{ is undefined}
\end{cases}$$
A seguinte condicional foi criada de forma a reparar a simetria.
TODO: Inversas precisas
TODO: Relação entre condicionais e uniões de conjuntos.
# Código
Implementação que retorna um ponto dado a triangle wave:
```python
def triangle_wave_point(t, frequency, amplitude):
"""
Generate a single point of a triangle wave.
:param t: Time point
:param frequency: Frequency of the triangle wave in Hz
:param amplitude: Amplitude of the triangle wave
:return: The amplitude of the triangle wave at time t
"""
t_mod = (t % (1.0 / frequency)) * frequency
if t_mod < 0.5:
return 4 * amplitude * t_mod - amplitude
else:
return -4 * amplitude * t_mod + 3 * amplitude
```
# Teoria dos Números
## Simplificação 1
Suponha que temos uma função arbitrária $f$ e uma sequência de números inteiros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$. A seguinte relação é válida:
$$
f \bmod a_1 \bmod a_2 \ldots \bmod a_n = f \bmod \left(\min(a_1, a_2, \ldots, a_n)\right)
$$
(Algumas pessoas podem estar acostumadas com notação de congruencia, é importante saber que essa notação também é válida).