Data

Tools

Indexes

Applications

Experiments

Awesome

An open API service indexing awesome lists of open source software.

https://github.com/avinandanbose/amortized_time_complexity-theory

Here is all about Understanding of Amortized time complexity.
https://github.com/avinandanbose/amortized_time_complexity-theory

Last synced: 7 months ago
JSON representation

Here is all about Understanding of Amortized time complexity.

Awesome Lists containing this project

README 

          


π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š π‘»π’‰π’†π’π’“π’š



    

      

    𝑰𝒕 π’‚π’‘π’‘π’π’Šπ’†π’” 𝒏𝒐𝒕 𝒕𝒐 𝒂 π’”π’Šπ’π’ˆπ’π’† 𝒓𝒖𝒏 𝒐𝒇 π’‚π’π’ˆπ’π’“π’Šπ’•π’‰π’Ž 𝒃𝒖𝒕 

    𝒓𝒂𝒕𝒉𝒆𝒓 𝒕𝒐 𝒂 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” π’‘π’†π’“π’‡π’π’“π’Žπ’†π’… 𝒐𝒏 

    𝒕𝒉𝒆 π’”π’‚π’Žπ’† 𝒅𝒂𝒕𝒂 𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆 .𝑨𝒔 π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆 π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 π’”π’•π’‚π’„π’Œ 

    π’‘π’“π’†π’—π’Šπ’π’–π’”π’π’š.𝑨𝒔 𝒕𝒉𝒆 π’”π’•π’‚π’„π’Œ π’ˆπ’†π’•π’” 2 π’Šπ’• π’ˆπ’†π’•π’” 𝒅𝒐𝒖𝒃𝒍𝒆𝒅 .
    

      

    𝑾𝒆 𝒄𝒂𝒏 π’•π’†π’“π’Ž 𝒔𝒖𝒄𝒉 π’•π’šπ’‘π’† 𝒐𝒇 π‘Ίπ’•π’‚π’„π’Œ 𝒂𝒔 π‘¨π’–π’ˆπ’Žπ’†π’π’•π’†π’… π‘Ίπ’•π’‚π’„π’Œ

    π’˜π’‰π’†π’“π’† π‘¨π’–π’ˆπ’Žπ’†π’π’•π’†π’… π’Žπ’†π’‚π’π’” π’ˆπ’“π’†π’‚π’•π’†π’“ π’Šπ’ π’”π’Šπ’›π’†.
    

      

    𝑺𝒖𝒄𝒉 π’…π’π’–π’ƒπ’π’Šπ’π’ˆ π’”π’Šπ’›π’† ,π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆 π’Šπ’ π’…π’šπ’π’‚π’Žπ’Šπ’„ 𝒉𝒂𝒔𝒉 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆

    𝒅𝒂𝒕𝒂 𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆𝒔 ,π’˜π’‰π’†π’“π’† 𝒆𝒂𝒄𝒉 π’•π’Šπ’Žπ’† 𝒐𝒇 π’π’—π’†π’“π’‡π’π’π’˜ 𝒕𝒉𝒆 π’”π’Šπ’›π’† 

    π’Šπ’π’„π’“π’†π’‚π’”π’†π’”.
    

      

    π‘¨π’„π’„π’π’“π’…π’Šπ’π’ˆ π‘ͺπ’π’“π’Žπ’†π’ ,π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘¨π’π’‚π’π’šπ’”π’Šπ’” 𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 

    π’…π’†π’‡π’Šπ’π’†π’… 𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:"𝑨𝒏 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π’‚π’π’‚π’π’šπ’”π’Šπ’” π’Šπ’” π’‚π’π’š

    π’”π’•π’“π’‚π’•π’†π’ˆπ’š 𝒇𝒐𝒓 π’‚π’π’‚π’π’šπ’”π’Šπ’π’ˆ 𝒂 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”

    𝒕𝒐 π’”π’‰π’π’˜ 𝒕𝒉𝒂𝒕 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’—π’†π’“π’‚π’ˆπ’† 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒑𝒆𝒓 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ π’Šπ’” π’”π’Žπ’‚π’π’,

    𝒆𝒗𝒆𝒏 π’•π’‰π’π’–π’ˆπ’‰ 𝒂 π’”π’Šπ’π’ˆπ’π’† π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ π’˜π’Šπ’•π’‰π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆

    π’Žπ’Šπ’ˆπ’‰π’• 𝒃𝒆 π’†π’™π’‘π’†π’π’”π’Šπ’—π’†." 
    

      

    

     
    𝑹𝒆𝒂𝒍 𝑾𝒐𝒓𝒍𝒅 π‘¬π’™π’‚π’Žπ’‘π’π’†
    

      

     
      

         

      𝑳𝒆𝒕 𝒖𝒔 π’‚π’”π’”π’–π’Žπ’† 𝒕𝒉𝒂𝒕 𝑿 π’ˆπ’†π’•π’” 𝒂 π’”π’‚π’π’‚π’“π’š 𝒐𝒇 β‚Ή10,000.𝑯𝒆 𝒔𝒂𝒗𝒆𝒔

       β‚Ή2000 𝒑𝒆𝒓 π’Žπ’π’π’•π’‰,π’˜π’‰π’Šπ’„π’‰ π’ˆπ’π’†π’” 𝒐𝒏 𝒇𝒐𝒓 10 π’Žπ’π’π’•π’‰π’”.

      𝑰𝒏 𝑾𝒐𝒓𝒔𝒕 π‘ͺ𝒂𝒔𝒆 π‘Ίπ’„π’†π’π’‚π’“π’Šπ’:π’Šπ’‡ 𝒕𝒉𝒆 π’†π’™π’‘π’†π’π’…π’Šπ’•π’–π’“π’† π’‚π’Žπ’π’–π’π’•π’” 𝒕𝒐

      β‚Ή15,000,𝑿'𝒔 π’”π’‚π’—π’Šπ’π’ˆ π’˜π’π’–π’π’… 𝒉𝒆𝒍𝒑 𝒕𝒐 π’„π’π’Žπ’‘π’†π’π’”π’‚π’•π’† 𝒕𝒉𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒔𝒔

      π’†π’™π’‘π’†π’π’…π’Šπ’•π’–π’“π’† π’Šπ’ 𝒂𝒏 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π’Žπ’‚π’π’π’†π’“.
      


      𝑰𝒏 𝒔𝒉𝒐𝒓𝒕,π’π’Šπ’Œπ’† π’ƒπ’‚π’π’Œπ’” π’Œπ’†π’†π’‘ 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕 π’…π’†π’•π’‚π’Šπ’π’” 𝒐𝒇 𝒂 π’„π’–π’”π’•π’π’Žπ’†π’“

      ,𝒐𝒏𝒆 π’Šπ’” π’“π’†π’’π’–π’Šπ’“π’†π’… 𝒕𝒐 π’Žπ’‚π’Šπ’π’•π’‚π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆

      𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”.
      

         

       
    

      

     
    

     
       𝑢𝑩𝑺𝑬𝑹𝑽𝑨𝑻𝑰𝑢𝑡 
    

      

      

        

      

    • 1.π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘ͺ𝒐𝒔𝒕 >𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘ͺ𝒐𝒔𝒕.
      • 

      

    • 2.𝑰𝒕 π’ˆπ’Šπ’—π’†π’” 𝒖𝒔 𝒕𝒉𝒆 π’•π’Šπ’ˆπ’‰π’• 𝒃𝒐𝒖𝒏𝒅 𝒂𝒏𝒅 π’•π’Šπ’ˆπ’‰π’• 𝒃𝒐𝒖𝒏𝒅 π’Šπ’”

      π’‚π’”π’”π’π’„π’Šπ’‚π’•π’†π’… π’˜π’Šπ’•π’‰ π‘¨π’—π’†π’“π’‚π’ˆπ’† π‘ͺ𝒂𝒔𝒆 π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š.
      • 


       
      

       
       π‘ͺπ’π’‚π’”π’”π’Šπ’‡π’Šπ’„π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 π‘ͺπ’‚π’π’„π’–π’π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒐𝒏 π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘¨π’π’‚π’π’šπ’”π’Šπ’”
      

        

        ![Screenshot (493)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/f390922e-96a0-4010-90f4-67f05b355ce0)
      


       

    






π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š-π‘¨π’ˆπ’ˆπ’“π’†π’ˆπ’‚π’•π’† 𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅


  

    

      

    π‘»π’‰π’Šπ’” π’Šπ’” 𝒂𝒍𝒔𝒐 π’Œπ’π’π’˜π’ 𝒂𝒔 𝒕𝒉𝒆 β€œπ’”π’–π’Žπ’Žπ’‚π’•π’Šπ’π’ π’Žπ’†π’•π’‰π’π’…β€.

    𝑻𝒉𝒆 𝒃𝒓𝒖𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒅𝒖𝒓𝒆 π’Šπ’” 𝒕𝒐 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒆 𝑻(π’Ž)

    π’˜π’π’“π’”π’•-𝒄𝒂𝒔𝒆 π’•π’Šπ’Žπ’† 𝒇𝒐𝒓 𝒂 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 𝒂𝒍𝒍 

    π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” 𝑢1,𝑢2,….,π‘Άπ’Ž.𝑻𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π’•π’Šπ’Žπ’† 

    𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒆𝒅 𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:
    

      

      

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

      

     \\

    	

    π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… \quad 𝒄𝒐𝒔𝒕 \quad 𝒑𝒆𝒓 \quad π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ \quad= \\

      

      \\

    	

    \dfrac{π‘ͺ𝒐𝒔𝒕 \quad 𝒐𝒇 \quad π’Ž \quad π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”}{π’Ž} = \dfrac{𝑻(π’Ž)}{π’Ž}  \\	

    	

      \\

      

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```

    	

    

    	

    𝑨𝒔 𝒔𝒖𝒄𝒉 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ π’Šπ’” π’‘π’π’”π’”π’Šπ’ƒπ’π’† π’π’π’π’š π’Šπ’ π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’…

    π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” π’Šπ’ π’…π’šπ’π’‚π’Žπ’Šπ’„π’‚π’π’π’š , 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 π’…π’“π’‚π’˜π’

    π’‚π’„π’„π’π’“π’…π’Šπ’π’ˆ 𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’Šπ’” π’Œπ’π’π’˜π’ 𝒂𝒔

    π‘«π’šπ’π’‚π’Žπ’Šπ’„ 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔.
    


    ![Screenshot (494)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/f4fb44fc-7f38-4a01-8776-b83c8a072cd7)

    	

    ![Screenshot (495)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/615cba8a-15db-40a5-8c87-011b1e7c0fa7)

    	

    ![Screenshot (496)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/d832db44-fa80-4809-8d7a-80c6c87dac4c)

    	

    ![Screenshot (498)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/e9f8449e-c561-48c2-9fc0-00c857677bd9)
    


    𝑯𝒆𝒓𝒆 π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆 π’˜π’π’“π’”π’• 𝒄𝒂𝒔𝒆 𝒇𝒐𝒓 π’•π’Šπ’Žπ’† π’„π’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š 𝒇𝒐𝒓 π’”π’Šπ’π’ˆπ’π’†

    π’Šπ’π’”π’†π’“π’•π’Šπ’π’ ( π’˜π’‰π’†π’π’†π’—π’†π’“ 𝒕𝒉𝒆𝒓𝒆 π’Šπ’” 𝒂𝒏 π’π’—π’†π’“π’‡π’π’π’˜) = 𝑢(𝒏)
    

    𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 π’˜π’π’“π’”π’• 𝒄𝒂𝒔𝒆 π’•π’Šπ’Žπ’† π’„π’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š 𝒐𝒇 𝒏

    𝒕𝒉 π’Šπ’π’”π’†π’“π’•π’Šπ’π’:𝒏 Γ— 𝑢(𝒏) = 𝑢(𝒏^𝟐).
    


    𝑻𝒉𝒆 𝒂𝒃𝒐𝒗𝒆 𝒂𝒑𝒑𝒓𝒐𝒂𝒄𝒉 π’Šπ’” : "π‘΅π’π’“π’Žπ’‚π’ π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š"  π’Š.𝒆. π‘Ίπ’Šπ’π’ˆπ’π’† π‘°π’π’”π’†π’“π’•π’Šπ’π’ : 𝑢(𝒏) 𝒂𝒏𝒅 𝒏 π’Šπ’π’”π’†π’“π’•π’Šπ’π’: 𝑢(𝒏^2)

    . π‘΅π’π’˜ π’„π’‚π’π’„π’–π’π’‚π’•π’Šπ’π’ˆ π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š π’Šπ’  π‘¨π’ˆπ’ˆπ’“π’†π’ˆπ’‚π’•π’† 𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅 . 
    

    	


    

    	

    ![Screenshot (499)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/68eefde8-c3ea-4bca-9539-ea50aef2379d)
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	

    π‘ͺ𝒐𝒔𝒕(π‘ͺ) \quad 𝒐𝒇 \quad 𝒏 \quad π’Šπ’•π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” \quad =  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\	

    ⟹ π’Š + \sum_{π’Š=𝟎}^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝒏-𝟏)} 𝟐^{π’Š} = 𝟐^𝟎 + 𝟐^𝟏 + 𝟐^𝟐 +...+𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝒏-𝟏)} βŸΉπ‘Ά(πŸ‘π’ βˆ’ πŸ‘) = 𝑢(πŸ‘π’) = 𝑢(𝒏) \\	

    	

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    


    


    π‘¨π’π’•π’†π’“π’π’‚π’•π’Šπ’—π’† π’˜π’‚π’š(𝟐):
    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	

    \\

    	

    𝑰𝒇 \quad π’˜π’† \quad 𝒔𝒆𝒆 \quad 𝒕𝒉𝒆 \quad π’”π’†π’“π’Šπ’†π’” \quad = 𝟐^𝟎 + 𝟐^𝟏 + 𝟐^𝟐 + 𝟐^πŸ‘ + β‹― \\

    	

    \\

    	

    ⟹ 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝟏)} +  𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝟐)} + 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(πŸ’)} + 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(πŸ–)} + β‹― + 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(πŸπ’)}  \\

    	

    \\

    	

    ⟹ 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝟏)} + + \sum_{π’Š=1}^{𝒏} 𝟐^{π’π’π’ˆ_𝟐(𝟐i)}  βŸΉπ‘Ά(πŸ’π’ βˆ’ 𝟏) = 𝑢(πŸ’π’) = 𝑢(𝒏) \\	

    	

    \\

    	

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    


    

    	

    π‘¨π’π’•π’†π’“π’π’‚π’•π’Šπ’—π’† π’˜π’‚π’š(3):
    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	

    \\

    	

    𝑰𝒇 \quad π’˜π’† \quad 𝒔𝒆𝒆 \quad 𝒕𝒉𝒆 \quad π’”π’†π’“π’Šπ’†π’” \quad = 𝟐^𝟎 + 𝟐^𝟏 + 𝟐^𝟐 + 𝟐^πŸ‘ + β‹― \\

    	

    \\

    	

    ⟹ 𝑾𝒆 \quad π’ˆπ’†π’• \quad 𝒂 \quad π’ˆπ’†π’π’Žπ’†π’•π’“π’Šπ’„ \quad 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆  \quad =  \\

    	

    \\

    	

    ⟹ 𝟏+𝟐+πŸ’+πŸ–....+ \dfrac{𝒏}{πŸ’} +  \dfrac{𝒏}{𝟐} +  𝒏 = 𝒏 + \dfrac{𝒏}{𝟐} + \dfrac{𝒏}{πŸ’} +...πŸ–+πŸ’+𝟐+𝟏 \\

    	

    = 𝑢(πŸπ’-𝒏(\dfrac{𝟏}{𝟐})^𝒏 ) = 𝑢(πŸπ’) = 𝑢(𝒏) \\	

    	

    \\

    	

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    


    

    	

    𝑻𝒉𝒆𝒓𝒆𝒇𝒐𝒓𝒆 π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 =
    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	

    \dfrac{𝑢(𝒏)}{𝒏} =𝟏	
    


    	

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```

    

    	

    𝑾𝒆 𝒄𝒂𝒏 π’˜π’“π’Šπ’•π’† 𝚯(𝟏)𝒂𝒔 π’Šπ’• π’Šπ’” 𝒋𝒖𝒔𝒕 π’ˆπ’Šπ’—π’Šπ’π’ˆ 𝒖𝒔 𝒕𝒉𝒆 π‘¨π’—π’†π’“π’‚π’ˆπ’† 𝒄𝒂𝒔𝒆 π’„π’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š.	
    

    	

    

    π‘¬π’™π’‚π’Žπ’‘π’π’† 𝟐: π‘ͺπ’π’π’”π’Šπ’…π’†π’“ 𝒕𝒉𝒆 π’‡π’π’π’π’π’˜π’Šπ’π’ˆ 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 𝒑𝒖𝒔𝒉 𝒂𝒏𝒅 

    𝒑𝒐𝒑 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” π’Šπ’” 𝟏.𝑰𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 π’Šπ’” π’ˆπ’Šπ’—π’†π’ 𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:
    


     
    𝟏 𝒑𝒖𝒔𝒉  πŸπ’‘π’–π’”π’‰    πŸπ’‘π’–π’”π’‰    πŸ‘ 𝒑𝒐𝒑𝒔   πŸπ’‘π’–π’”π’‰  πŸπ’‘π’π’‘π’”   πŸπ’‘π’–π’”π’‰    πŸπ’‘π’π’‘π’”
    

    	

    π‘Ίπ’π’π’–π’•π’Šπ’π’:
    

    	

    𝑨𝒔 𝒑𝒆𝒓 𝒕𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’ˆπ’Šπ’—π’†π’ ,𝒕𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 π’˜π’π’–π’π’… 𝒃𝒆 𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:
    	

     

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    𝒕_π’Š = 𝟏 \quad 𝟏 \quad 𝟏 \quad πŸ‘ \quad 𝟐 \quad 𝟐 \quad 𝟐 \quad 𝟐\\

    	
    


    	

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    π‘ͺ𝒐𝒔𝒕 =  \dfrac{𝟏+𝟏+𝟏+πŸ‘+𝟐+𝟐+𝟐+𝟐}{πŸ–} = \dfrac{πŸπŸ’}{πŸ–} =𝟏.πŸ•πŸ“\\

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    


    

    	






π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘¨π’π’‚π’π’šπ’”π’Šπ’” βˆ’

π‘¨π’„π’„π’π’–π’π’•π’Šπ’π’ˆ 𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅



    


    𝑰𝒏 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’„π’„π’π’–π’π’•π’Šπ’π’ˆ π’Žπ’†π’•π’‰π’π’…, 𝒂𝒏 π’‚π’“π’•π’Šπ’‡π’Šπ’„π’Šπ’‚π’ 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’Šπ’” π’‚π’”π’”π’Šπ’ˆπ’π’†π’… 𝒕𝒐 π’†π’—π’†π’“π’š π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’. π‘³π’Šπ’Œπ’† π’ƒπ’‚π’π’Œπ’” π’Žπ’‚π’Šπ’π’•π’‚π’Šπ’ 𝒂𝒄𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕𝒔 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 π’„π’–π’”π’•π’π’Žπ’†π’“π’”, 𝒐𝒏𝒆 π’Žπ’–π’”π’• π’Œπ’†π’†π’‘ π’•π’“π’‚π’„π’Œ 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” π’Šπ’ π’•π’‰π’Šπ’” 𝒄𝒂𝒔𝒆. π‘Ίπ’π’Žπ’† 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’” 𝒂𝒓𝒆 π’„π’‰π’‚π’“π’ˆπ’†π’… 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂, 𝒂𝒏𝒅 π’•π’‰π’Šπ’” 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’˜π’π’–π’π’… 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓 𝒖𝒔𝒆𝒅 𝒕𝒐 𝒐𝒇𝒇𝒔𝒆𝒕 𝒕𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 π’”π’π’Žπ’† π’†π’™π’‘π’†π’π’”π’Šπ’—π’† π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”. 𝑳𝒆𝒕 `π’„π’Š` 𝒃𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆  π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒂𝒏𝒅 `π’‚π’Š`  𝒃𝒆 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 π’Šπ’•π’‰ π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’.𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒕𝒉𝒆 π’„π’“π’†π’…π’Šπ’• π’Šπ’” π’…π’†π’‡π’Šπ’π’†π’… 𝒂𝒔 𝒕𝒉𝒆 π’…π’Šπ’‡π’‡π’†π’“π’†π’π’„π’† π’ƒπ’†π’•π’˜π’†π’†π’ 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒅 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕: 
    


    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


     π‘ͺπ’“π’†π’…π’Šπ’•=𝒂_π’Š-𝒄_π’Š\\

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    𝑭𝒐𝒓 𝒂 𝒔𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒐𝒇 `π’Ž` π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”,𝒕𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒔 𝒂𝒓𝒆 π’ˆπ’Šπ’—π’†π’ 

    𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    𝒄_π’Š = \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š \quad 𝒂𝒏𝒅 \quad 𝒂_π’Š = \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒂_π’Š\\

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    𝑻𝒉𝒆 π’“π’†π’π’‚π’•π’Šπ’π’ π’ƒπ’†π’•π’˜π’†π’†π’ 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒔 𝒂𝒏𝒅 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒔:
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š \quad ≀ \quad  \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒂_π’Š\\

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    


    𝑻𝒉𝒆 π’„π’“π’†π’…π’Šπ’• π’Šπ’” π’π’π’˜ π’ˆπ’Šπ’—π’†π’ 𝒂𝒔 𝒕𝒉𝒆 π’…π’Šπ’‡π’‡π’†π’“π’†π’π’„π’† π’ƒπ’†π’•π’˜π’†π’†π’ 𝒕𝒉𝒆

    𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍  𝒂𝒏𝒅 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒔:
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    π‘ͺπ’“π’†π’…π’Šπ’•  = π’„π’Š  = \quad \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š \quad - \quad  \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒂_π’Š  β‰₯ 𝟎 \\

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

     𝑻𝒉𝒆𝒓𝒆𝒇𝒐𝒓𝒆 , 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’Šπ’” 𝒃𝒐𝒖𝒏𝒅𝒆𝒅 π’ƒπ’š 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 

    𝒄𝒐𝒔𝒕 𝑢(𝒂).
    

    	

    𝑳𝒆𝒕 𝒖𝒔 π’•π’‚π’Œπ’† π’†π’™π’‚π’Žπ’‘π’π’† 𝒐𝒇 π‘«π’šπ’π’‚π’Žπ’Šπ’„ 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆:
    


    ![Screenshot (501)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/b3e0f937-0fca-44da-8893-d6b36c1eb5ee)
    


    𝑯𝒆𝒏𝒄𝒆 π’˜π’† π’ˆπ’†π’• `𝒂` 𝒂𝒔 πŸ‘ π’Šπ’ π’Žπ’π’”π’• 𝒄𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒉𝒆𝒏𝒄𝒆 π’Šπ’‡ π’Šπ’• 𝒓𝒖𝒏 𝒂𝒕

    𝒏 π’•π’Šπ’Žπ’†π’” π’˜π’† π’ˆπ’†π’• 𝑢(πŸ‘π’)=𝑢(𝒏).
    

    	

    𝑨𝒏𝒅 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕  𝒃𝒐𝒖𝒏𝒅𝒆𝒅 π’ƒπ’š 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 

    βŸΉπ‘Ά(𝒂)=𝑢(πŸ‘)=𝑢(𝟏).
    

    	

    

    	



	



π‘¨π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… π‘»π’Šπ’Žπ’† π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’™π’Šπ’•π’š βˆ’ π‘·π’π’•π’†π’π’•π’Šπ’‚π’ 𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅



    

    	

    𝑻𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒑𝒕 𝒐𝒇 π’‘π’π’•π’†π’π’•π’Šπ’‚π’ π’Šπ’” π’…π’†π’“π’Šπ’—π’†π’… π’‡π’“π’π’Ž π’‘π’‰π’šπ’”π’Šπ’„π’” .

    𝑻𝒉𝒆 π’Šπ’…π’†π’‚ π’Šπ’” 𝒕𝒉𝒂𝒕 𝒂 π’”π’šπ’”π’•π’†π’Ž π’„π’‰π’‚π’π’ˆπ’†π’” 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓

    𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒍 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’π’”. 𝑻𝒉𝒆 π’„π’‰π’‚π’π’ˆπ’† 𝒐𝒇 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 𝒔𝒕𝒐𝒓𝒆𝒅

    𝒂𝒔 𝒂 π’‘π’π’•π’†π’π’•π’Šπ’‚π’ 𝝓, π’˜π’‰π’Šπ’„π’‰ π’Žπ’‚π’‘π’” 𝒕𝒉𝒆 π’Šπ’π’”π’•π’‚π’π’„π’†π’” 𝒐𝒇 𝒂 𝒅𝒂𝒕𝒂

    𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒕𝒐 𝒕𝒉𝒐𝒔𝒆 𝒐𝒇 𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍 π’π’–π’Žπ’ƒπ’†π’“. 𝑳𝒆𝒕 π’„π’Š 𝒃𝒆 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍

    𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒐𝒇 𝒂𝒏 π’π’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒂𝒏𝒅 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒆𝒔 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒂𝒓𝒆

    π“π’Š 𝒂𝒏𝒅 π“π’Šβˆ’πŸ, 𝒕𝒉𝒆𝒏 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒄𝒂𝒏 𝒃𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆𝒅

    𝒂𝒔 π’‡π’π’π’π’π’˜π’”:
    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒂_π’Š  = \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š + 𝝓(𝑫_π’Š) βˆ’ 𝝓(𝑫_{π’Šβˆ’πŸ}) = \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š + \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝝓(𝑫_π’Š) βˆ’ 𝝓(𝑫_{π’Šβˆ’πŸ})  \\
    


    = \sum_{π’Š=1}^{π’Ž} 𝒄_π’Š + 𝝓(𝑫_π’Ž) βˆ’ 𝝓(𝑫_𝟎) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\

    	

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    𝑻𝒉𝒖𝒔, 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 π’Šπ’” 𝒕𝒉𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒕𝒉𝒆 π’…π’Šπ’‡π’‡π’†π’“π’†π’π’„π’†

    π’ƒπ’†π’•π’˜π’†π’†π’ 𝒕𝒉𝒆 π’ƒπ’†π’ˆπ’Šπ’π’π’Šπ’π’ˆ 𝒂𝒏𝒅 𝒆𝒏𝒅 π’‘π’π’•π’†π’π’•π’Šπ’‚π’ 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒂

    𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆.𝑨𝒔 𝝓(π‘«π’Ž) π’Šπ’” π’ˆπ’“π’†π’‚π’•π’†π’“ 𝒕𝒉𝒂𝒏 𝝓(π‘«πŸŽ), 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’…

    𝒄𝒐𝒔𝒕 π’Šπ’” 𝒖𝒑𝒑𝒆𝒓 𝒃𝒐𝒖𝒏𝒅 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕.
    


    π‘»π’‚π’Œπ’Šπ’π’ˆ 𝒕𝒉𝒆 π’†π’™π’‚π’Žπ’‘π’π’† 𝒐𝒇 π‘«π’šπ’π’‚π’Žπ’Šπ’„ 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒆
    

    	

    𝝓 = 𝟐 Γ— 𝑡𝒐. 𝒐𝒇 π’Šπ’•π’†π’Žπ’” π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’“π’“π’‚π’š βˆ’ π’„π’‚π’‘π’‚π’„π’Šπ’•π’š 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒆 π’‚π’“π’“π’‚π’š.
    

    	

    ![Screenshot (503)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/6eb38ae3-c11b-4601-94d2-467b04da9648)

    	

    

    	

    𝑨𝒔 π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆 𝒂𝒍𝒍 𝒉𝒂𝒗𝒆 πŸ‘ 𝒂𝒏𝒅 π’Šπ’‡ π’Šπ’• 𝒓𝒖𝒏𝒔 𝒖𝒑𝒕𝒐 𝒏 π’•π’Šπ’Žπ’†π’” 𝒕𝒉𝒆𝒏 π’Šπ’• 

    π’ˆπ’†π’π’†π’“π’‚π’•π’†π’” 𝑢(πŸ‘π’)=𝑢(𝒏). 𝑻𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 βŸΉπ‘Ά(𝒂)=

    𝑢(πŸ‘)=𝑢(𝟏)  π’Š.𝒆.𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕 π’•π’Šπ’Žπ’†.
    

    	
    


    	

    π‘΅π’π’˜,π’Šπ’‡ π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆:
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    𝝓 = 𝟐 Γ— \quad 𝑡𝒐. \quad 𝒐𝒇 \quad π’Šπ’•π’†π’Žπ’” \quad π’Šπ’ \quad 𝒕𝒉𝒆 \quad π’‚π’“π’“π’‚π’š \quad βˆ’ \quad π’„π’‚π’‘π’‚π’„π’Šπ’•π’š \quad 𝒐𝒇 \quad 𝒕𝒉𝒆 \quad π’‚π’“π’“π’‚π’š. \\
    


    π’Šπ’‡ \quad π’π’–π’Žπ’ƒπ’†π’“ \quad 𝒐𝒇 \quad π’Šπ’•π’†π’Žπ’” \quad =  \quad π’Š \quad 𝒂𝒏𝒅 \quad π’„π’‚π’‘π’‚π’„π’Šπ’•π’š \quad 𝒐𝒇 \quad 𝒕𝒉𝒆  \quad π’‚π’“π’“π’‚π’š: 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βŒ‰}\\

    𝝓 = πŸπ’Š βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βŒ‰} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\

    	

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    𝑨𝒏𝒅 π’‡π’“π’π’Ž 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒃𝒐𝒗𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 π’˜π’† π’ˆπ’†π’• π’•π’˜π’ 𝒄𝒂𝒔𝒆𝒔:
    

    π‘ͺπ’Š = π’Š , π’˜π’‰π’†π’ π’Š βˆ’ 𝟏 π’Šπ’” 𝒂𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘·π’π’˜π’†π’“ 𝒐𝒇 𝟐.
    

    π‘ͺπ’Š = 𝟏 , π’˜π’‰π’†π’ π’Š βˆ’ 𝟏 π’Šπ’” 𝒏𝒐𝒕 𝒂𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘·π’π’˜π’†π’“ 𝒐𝒇 𝟐.
    

    	

    ![Screenshot (505)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/e1b7e910-256d-4705-a6b1-5af522fde483)

    ![Screenshot (506)](https://github.com/AvinandanBose/Amortized_Time_Complexity-Theory/assets/38869235/970a3642-2932-487a-8e10-39d972b94e66)
    


    π‘ͺπ’‚π’”π’†πŸ: π’˜π’‰π’†π’ π’Š βˆ’ 𝟏 π’Šπ’” 𝒂𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘·π’π’˜π’†π’“ 𝒐𝒇 𝟐,

    𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘ͺ𝒐𝒔𝒕(π‘ͺπ’Š) π’Šπ’” π’Š : 
    

    	
    


    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	
    


    𝒂_π’Š =  π’Š + πŸπ’Š βˆ’ 𝟐^{⌈π₯π¨π πŸπ’ŠβŒ‰} βˆ’ (𝟐(π’Š βˆ’ 𝟏) βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βˆ’πŸβŒ‰}) = π’Š + 𝟐 βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βŒ‰} + 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Šβˆ’πŸ)βŒ‰} =πŸ‘ 
    


    	

    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    

    	

    π‘ͺπ’‚π’”π’†πŸ: π’˜π’‰π’†π’ π’Š βˆ’ 𝟏 π’Šπ’” 𝒏𝒐𝒕 𝒂𝒏 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘·π’π’˜π’†π’“ 𝒐𝒇 𝟐,

    𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 π‘ͺ𝒐𝒔𝒕(π‘ͺπ’Š) π’Šπ’” 𝟏 : 
    

    	

    

    	

     ```math

    	

     \begin{equation}

       \begin{split}

    	

    𝒂_π’Š = 𝟏 + πŸπ’Š βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βŒ‰} βˆ’ (𝟐(π’Š βˆ’ 𝟏) βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Šβˆ’πŸ)βŒ‰}) = 𝟏 + 𝟐 βˆ’ 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Š)βŒ‰} + 𝟐^{⌈π₯𝐨𝐠_𝟐(π’Šβˆ’πŸ)βŒ‰} =πŸ‘ 
    


    		

        \end{split}

     \end{equation}

    	

    ```
    


    

    	

    


    𝑨𝒔 π’˜π’† 𝒔𝒆𝒆 𝒂𝒍𝒍 𝒉𝒂𝒗𝒆 πŸ‘ 𝒂𝒏𝒅 π’Šπ’‡ π’Šπ’• 𝒓𝒖𝒏𝒔 𝒖𝒑𝒕𝒐 𝒏 π’•π’Šπ’Žπ’†π’” 𝒕𝒉𝒆𝒏 π’Šπ’•

    π’ˆπ’†π’π’†π’“π’‚π’•π’†π’” 𝑢(πŸ‘π’) = 𝑢(𝒏). 𝑻𝒉𝒆 π’‚π’Žπ’π’“π’•π’Šπ’›π’†π’… 𝒄𝒐𝒔𝒕 βŸΉπ‘Ά(𝒂)=

    𝑢(πŸ‘) = 𝑢(𝟏) π’Š. 𝒆. 𝒆𝒂𝒄𝒉 𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕 π’•π’Šπ’Žπ’†.