https://github.com/cm-bf/computingmethod
experiments of Computing Method
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experiments of Computing Method
- Host: GitHub
- URL: https://github.com/cm-bf/computingmethod
- Owner: CM-BF
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README
# ComputingMethod
##### PB16060674-归舒睿
[TOC]
## 实验环境
Ubuntu 18.04
python 3.7
## 第一题
### 题目：程序 3
数据同上表，用Newton插值估计：
（1） 1965年的人口数；
（2） 2012年的人口数。
数据：
| 年份 | 人口 |
|-------|------|
| 1920 | 105711 |
| 1930 | 123203 |
| 1940 | 131669 |
| 1950 | 150697 |
| 1960 | 179323 |
| 1970 | 203212 |
### 程序分析
* 库：numpy
* 读取数据方式：./data/NewtonInsert.txt
* 读取数据
* 根据公式制作差商表
* 根据Newton插值公式定义Newton函数
* 预测1965和2012年的人口数
### 结果分析
output:
> 1965: 193081.51171875
> 2012: -136453.125184
由此看出，对于牛顿差值法，在控制点之间的预测是相对准确的，而超出这个范围，则完全没有参考价值。
### 代码
```python
'''
Describe: 程序 3 （1）（2）
Date: 09 Apr 2019
Author: 归舒睿
'''
import numpy as np
inputfile = open("data/NewtonInsert.txt", "r")
line = inputfile.readline()
data = []
count = 0
while line != '':
count += 1
line = line.strip('\n').split(' ')
data.append({'x': int(line[0]), 'y':int(line[1])})
line = inputfile.readline()
g = np.zeros((count, count), np.float)
for j in range(count):
for i in range(j, count):
if j == 0:
g[i][j] = data[i]['y']
else:
g[i][j] = (g[i][j-1] - g[i-1][j-1]) / (data[i]['x'] - data[i-j]['x'])
predict = [1965, 2012]
def Newton(x):
global count
N = 0
t = 1
for k in range(count):
N += g[k][k] * t
t *= x - data[k]['x']
return N
print('1965: ', Newton(predict[0]), '\n2012: ', Newton(predict[1]))
```
## 第二题
### 题目：程序 11
用Gauss消元法计算A的行列式。
输入：行列式的阶数n，行列式A的元素
输出：A的行列式的值
### 代码分析
* 输入数据：
3
-1 3 2
2 1 -2
3 6 2
$$
\left[
\begin{matrix}
-1 & 3 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
3 & 6 & 2
\end{matrix}
\right]
\tag{1}
$$
* 通过文件读取数据
* 使用挑选最大主元的的Gauss消元法
* 通过消元后的行列式的对角线的相乘计算行列式的值
### 结果分析
> true det: -25.99999999999999
> det after Gauss: -25.999999999999996
上面的是直接调用函数运算的det值，后者是消元后计算的det值。
### 代码
```python
import numpy as np
import copy
inputfile = open("data/Gauss.txt", "r")
n = int(inputfile.readline().strip("\n"))
A = np.zeros((n, n), np.float)
for i in range(n):
line = inputfile.readline().strip("\n").split(' ')
line = [int(x) for x in line]
A[i] = line
print('true det: ', np.linalg.det(A))
for i in range(n):
k = i
for j in range(i+1, n):
if abs(A[k][i]) < abs(A[j][i]):
k = j
# exchange
t = copy.deepcopy(A[k])
A[k] = copy.deepcopy(A[i])
A[i] = t
for j in range(i+1, n):
A[j][i] = A[j][i]/A[i][i]
A[j][i+1:n] = A[j][i+1:n] - A[j][i] * A[i][i+1:n]
A[j][i] = 0
det = 1
for i in range(n):
det *= A[i][i]
print('det after Gauss: ', det)
```
## 第三题
### 题目： 程序10
用Newton迭代法求解非线性方程组：
$$
\left\{
\begin{array}{lr}
f(x)=x^2+y^2-1=0 & \\
g(x)=x^3-y=0
\end{array}
\right.
$$
取
$$
\left(
\begin{array}{lr}
x_0 \\ y_0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{lr}
0.8 \\ 0.6
\end{array}
\right)
$$
, 误差控制
$$
max(|x_k|, |y_k|) <= 10^-5
$$
.
### 代码分析
输入为x0和y0
* 使用库: sympy，用于对符号的求导，因为需要求方程组的雅可比矩阵
* 首先定义符号x,y
* 然后定义符号函数f,g
* 把两个函数合成方程组矩阵
* 求其雅可比矩阵
* 构造起始向量X，内容为x0和y0
* 使用公式迭代，并且和e比较，达到精度时停止
### 结果分析
> 1.26692510192662e-12 2.55564405618157e-12
> 3 Matrix([[0.826031357655234], [0.563624162160847]])
* 第一行为迭代完成时f,和g的大小，可以看到都很接近于零。
* 第二行第一个数为迭代次数
* 之后为结果向量，即解
$$
\left(
\begin{array}{lr}
0.826031357655234 \\
0.563624162160847
\end{array}
\right)
$$
### 代码
```python
from sympy import *
x = symbols("x")
y = symbols("y")
f = x**2 + y**2 -1
g = x**3 - y
F = Matrix([[f], [g]])
e = 10**-5
X = [Matrix([[0.8], [0.6]])]
J = Matrix([[diff(f, x), diff(f, y)], [diff(g, x), diff(g, y)]])
k = 0
X.append(X[k] - J.evalf(subs={x:X[k][0], y:X[k][1]})**(-1) * F.evalf(subs={x:X[k][0], y:X[k][1]}))
k += 1
while abs(max(X[k][0] - X[k-1][0], X[k][1] - X[k-1][1])) >= e:
X.append(X[k] - J.evalf(subs={x: X[k][0], y: X[k][1]}) ** (-1) * F.evalf(subs={x: X[k][0], y: X[k][1]}))
k += 1
print(max(X[k][0] - X[k-1][0], X[k][1] - X[k-1][1]))
print(f.evalf(subs={x:X[k][0], y:X[k][1]}), g.evalf(subs={x:X[k][0], y:X[k][1]}))
print(k, X[k])
```