Ecosyste.ms: Awesome

An open API service indexing awesome lists of open source software.

Awesome Lists | Featured Topics | Projects

https://github.com/hashlag/discrete-colloq

Last synced: 3 days ago
JSON representation

Host: GitHub
URL: https://github.com/hashlag/discrete-colloq
Owner: hashlag
Created: 2023-10-16T08:26:06.000Z (about 1 year ago)
Default Branch: main
Last Pushed: 2023-10-17T14:41:48.000Z (about 1 year ago)
Last Synced: 2023-10-18T01:41:28.622Z (about 1 year ago)
Size: 36.1 KB
Stars: 1
Watchers: 1
Forks: 0
Open Issues: 0
Metadata Files:
- Readme: README.md

Awesome Lists containing this project

README

# discrete math

1. Определение Множества (любое из трех)
- Набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.

1. Способы задания множеств (5)
- **Перечисление:** $A = {1, 2, 3}$
- **Характеристика** (описание): A = {x: x ∈ R}
- **Порождающая процедура:** x = π + 2πК; K ∈ Z
- **Диаграмма Эйлера-Венна**
- **Формула:** $A \cap B$

1. Подмножество и отличие собственных и несобственных подмножеств
- $А$ является подмножеством множества $В$, если каждый элемент множества $А$ принадлежит множеству $В (А ⊆ В)$
- Несобственное подмножество — **само множество** и **пустое множество**
- **Собственное подмножество** — любое подмножество, кроме пустого и исходного множества

2. Булеан множества
- Множество **всех возможных подмножеств**, включая **само множество** и **пустое множество**
- **Мощность** булеана — 2^(мощность изначального множества)

1. Объединение множеств
- Множество, состоящее из элементов, принадлежащих **хотя бы одному из множеств**

1. Пересечение множеств
- Множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих **всем данным множествам**

1. Дополнение множества
- Множество, состоящее из элементов, **не принадлежащих** данному множеству

1. Разность множеств
- Множество, состоящее из элементов, **принадлежащих первому** множеству, но **не принадлежащих второму** множеству

1. Симметрическая разность множеств
- Множество, состоящее **из всех элементов** исходных множеств, **не принадлежащих одновременно обоим** множествам

1. Декартово произведение множеств
- Множество всех **упорядоченных пар**, где на **первой позиции** стоит элемент из **первого** множества, а на **второй** из **второго**

1. Прямое произведение четырех множеств
- Множество, элементами которого являются всевозможные **кортежи** из элементов исходных **четырех** множеств, такие, что на первой позиции находится элемент из первого множества, на второй – из второго множества, на третьей – из третьего, а на четвертой – из четвертого

1. Кортеж
- **Упорядоченный** набор произвольных **n** элементов

1. Равенство упорядоченных пар/кортежей
- Упорядоченные пары **(a, b) и (c, d)** равны, если **a = c и b = d**

1. Свойство коммутативности
- $A \cap B = B \cap A$
- $A \cup B = B \cup A$

1. Свойство дистрибутивности
- $А ∩ (В ∪ С)=(А∩В)∪(А∩С)$
- $А \cup (В \cap С)=(А \cup В)\cap(А\cupС)$

1. Критерий равенства двух множеств (метод двух включений)
- Множество $А$ равно множеству $В$ тогда и только тогда, когда $А$ **является подмножеством** $B$ $(А ⊆ В)$ и $В$ **является подмножеством** $A$ $(В ⊆ А)$

1. Равные множества (определение)
- Множества, состоящие из **одних и тех же** элементов

1. Свойство ассоциативности
- $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
- $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

1. Законы поглощения
- $A \cup (A \cap B) = A$
- $A \cap (A \cup B) = A$

1. Законы склеивания
- $(А∩В)∪(А∩¬В)=А$
- $(А∪В)∩(А∪¬В)=А$

2. Законы де Моргана
- $\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
- $\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

1. Бинарное отношение на множествах
- Любое подмножество декартова произведения данных множеств

1. Способы задания бинарных отношений
- Перечисление
- Правило
- Прямоугольная система координат
- Матрица
- Графически
- Граф (для отношения на **одном множестве**)

1. Область определения отношения и область значений отношения
- Область **определения** отношения – множество всех **первых** координат упорядоченных пар из этого отношения
- Область **значений** отношения – множество всех **вторых** координат упорядоченных пар из этого отношения

1. Обратное отношение
- Пусть $R ⊆ A × B$ – отношение на $A × B$, тогда обратное отношение – отношение на $B × A$ (обратное отношение существует тогда и только тогда, когда существует бинарное отношение)

1. Композиция отношений
- Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений R⊆A×B и S⊆B×C называется такое отношение (R∘S)⊆A×C, что: ∀a∈A,c∈C:a(R∘S)c⟺∃b∈B:(aRb)∧(bSc)

1. Степень отношения
- Степень отношения R^n ⊆ A×A определяется следующим образом:
R^n=R^(n−1) ∘ R;
R^1=R;
R^0={(x,x) ∣ x∈A}

1. Теорема об ассоциативности композиции отношений (формулировка)
- Пусть на декартовом произведении множеств A и B задано отношение R, на декартовом произведении множеств B и С задано отношение S, на декартовом произведении множеств C и D задано отношение T. Тогда при любой расстановке скобок в композиции отношений R∘S∘Т результирующее множество не изменится

1. Асимметричность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется асимметричным, если для любых элементов a и b множества X одновременное выполнение отношений aRb и bRa невозможно.

1. Симметричность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества (a,b) выполнение отношения aRb влечёт выполнение отношения bRa.

1. Антисимметричность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для любых элементов a и b множества X из выполнения отношений aRb и bRa следует равенство a и b.

1. Несимметричность БО
- R – НЕсимметрично
если существуют a,b,с,d ∈
A: aRb ∧ bRa и cRd ∧ ¬ dRc

1. Рефлексивность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении R с самим собой.

1. Антирефлексивность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется антирефлексивным, если не существует ни одного элемента этого множества который бы находится в отношении R с самим собой.

1. Транзитивность БО
- Бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов a,b,c данного множества из выполнения отношений aRb и bRc следует выполнение отношения aRc

1. Нетранзитивность БО
- R: (∃ a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc) ∧ (∃ x, y, z ∈A :xRy ∧yRz ⇒ ¬xRy)

1. Нерефлексивность БО
- ∃ a, b ∈ A : ¬aRa ∧ bRb

1. Антитранзитивность БО
- R: ∀ a, b, c ∈ A : aRb and bRc ⇒ ¬aRc

1. Замыкание БО
- Замыканием бинарного отношения R относительно свойства E называется минимальное по мощности надмножество множества R удовлетворяющее свойству E

1. Отношение эквивалентности
- Отношение эквивалентности — отношение, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1. Класс эквивалентности
- Классы эквивалентности — подмножества, образованные В
результате разбиения множества отношением эквивалентности.

1. Порождающий элемент
- Порождающий элемент класса эквивалентности — некоторый
элемент, находящийся в отношении R со всеми элементами
соответствующего класса.

1. Разбиение множества
- Система непустых подмножеств {M1,M2,…,Mn…}
множества M
называется разбиением (англ. partition) данного множества, если:
- M = M1 ∪ M2 ∪ … ∪ Mn ∪…
- Mi ∩ Mj=∅ при i≠j
.
Множества M1,M2,…,Mn,…
называются классами данного разбиения.

1. Теорема про разбиение и классы эквивалентности
- Если R - отношение эквивалентности на A, то множество классов
эквивалентности [A]R образуют разбиение \ .

1. Отношения строгого и нестрогого частичного порядка
- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением частичного НЕстрогого порядка, если оно обладает следующими свойствами:
- Рефлексивность
- Антисимметричность
- Транзитивность

- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением частичного СТРОГОГО порядка, если оно обладает следующими свойствами:
- Антирефлексивность
- Антисимметричность
- Транзитивность

1. Отношения строгого и нестрогого линейного порядка
- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением НЕстрогого линейного порядка, если оно является отношением НЕстрогого частичного порядка и обладает следующим свойством: ∀a ∈ X ∀b ∈ X
либо aRb, либо bRa

- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением СТРОГОГО линейного порядка, если оно является отношением СТРОГОГО частичного порядка и обладает следующим свойством: ∀a ∈ X ∀b ∈ X
либо aRb, либо bRa

1. Отношение соответствия
- Взаимно-однозначное: одному X соответствует один Y, и одному Y
соответствует один X
- Много-однозначное: одному X соответствует один у, но одному у
соответствует несколько X
- Одно-многозначное: одному X соответствует несколько Y, но одному Y
соответствует только один X
- Много-многозначное: одному X соответствует несколько Y, а одному Y
соотвествует несколько X

1. Линейно упорядоченное множество
- Линейно упорядоченное множество - множество, на котором задано отношение линейного порядка.

- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: ∀a ∈ X ∀b ∈ X либо aRb, либо bRa

1. Частично упорядоченное множество
- Частично упорядоченное множество - множество, на котором задано отношение частичного порядка.

- Бинарное отношение R
на множестве X
называется отношением частичного порядка, если оно обладает следующими свойствами:
- Рефлексивность
- Антисимметричность
- Транзитивность

1. Функциональное отношение
- Бинарное отношение, такое что каждому X соответствует не более одного Y

1. Недоопределенная функция
- Функциональное отношение R, такое что не для каждому x соответствует y

1. Какими свойствами обладает отношение, когда нельзя определить свойство симметричности однозначно?
- Симметрично и антисимметрично (при отсутствии петель ещё и асимметрично)

1. Какими свойствами обладает отношение, когда нельзя определить свойство транзитивности однозначно?
- Транзитивно и антитранзитивно