Ecosyste.ms: Awesome

An open API service indexing awesome lists of open source software.

Awesome Lists | Featured Topics | Projects

https://github.com/hashlag/dm-semester-2


https://github.com/hashlag/dm-semester-2

Last synced: 3 days ago
JSON representation

Awesome Lists containing this project

README 

        
# dm-semester-2



## Коллоквиум 3



1. [Инцидентность вершин и ребер](#инцидентность-вершин-и-ребер)

2. [Смежность вершин и ребер](#смежность-вершин-и-ребер)

3. [Ребро, ориентированное ребро, петля, кратное ребро](#ребро-ориентированное-ребро-петля-кратное-ребро)

4. [Изолированная вершина, висячая вершина и висячее ребро](#изолированная-вершина-висячая-вершина-и-висячее-ребро)

5. [Простой граф, ориентированный граф](#простой-граф-ориентированный-граф)

6. [Мультиграф, псевдограф](#мультиграф-псевдограф)

7. [Взвешенный, направленный граф](#взвешенный-направленный-граф)

8. [Нуль граф, пустой граф, тривиальный граф](#нуль-граф-пустой-граф-тривиальный-граф)

9. [Изоморфизм графов. Помеченный граф](#изоморфизм-графов-помеченный-граф)

10. [Способы представления графа.](#способы-представления-графа)

11. [Описание кратных ребер и петель в матрице смежности](#описание-кратных-ребер-и-петель-в-матрице-смежности)

12. [Описание кратных ребер и петель в матрице инцидентности](#описание-кратных-ребер-и-петель-в-матрице-инцидентности)

13. [Степень вершины в графе (ориентированный и неориентированный графы)](#степень-вершины-в-графе-ориентированный-и-неориентированный-графы)

14. [Лемма о рукопожатиях для неориентированного графа](#лемма-о-рукопожатиях-для-неориентированного-графа)

15. [Лемма о рукопожатиях для ориентированного графа](#лемма-о-рукопожатиях-для-ориентированного-графа)

16. [Подграф](#подграф)

17. [Надграф](#надграф)

18. [Собственный подграф, Несобственный подграф](#собственный-подграф-несобственный-подграф)

19. [Частичный граф.](#частичный-граф)

20. [Регулярный (однородный) граф, полный граф](#регулярный-однородный-граф-полный-граф)

21. [Дополнение, объединение, пересечение графов](#отождествление-вершин)

22. [Путь. Цепь. Простая цепь](#путь-цепь-простая-цепь)

23. [Замкнутый путь, цикл и простой цикл](#замкнутый-путь-цикл-и-простой-цикл)

24. [Двудольный граф. Критерий двудольности](#двудольный-граф-критерий-двудольности)

25. [Вершинно простой путь, Реберно простой путь](#вершинно-простой-путь-реберно-простой-путь)

26. [Лемма о простом пути](#лемма-о-простом-пути)

27. [Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Связный граф](#связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-связный-граф)

28. [Слабая связность, компоненты слабой связности. Слабо связный граф](#слабая-связность-компоненты-слабой-связности-слабо-связный-граф)

29. [Сильная связность, компоненты сильной связности. Сильно связный граф](#сильная-связность-компоненты-сильной-связности-сильно-связный-граф)

30. [Реберная двусвязность. Компоненты реберной двусвязности. Минимальная компонента](#реберная-двусвязность-компоненты-реберной-двусвязности-минимальная-компонента)

31. [Разрезающее множество. Разрез](#разрезающее-множество-разрез)

32. [Мост определение + 2 эквивалентных определения на выбор](#мост-определение--2-эквивалентных-определения-на-выбор)

33. [Лемма о цикле и мосте](#лемма-о-цикле-и-мосте)

34. [Лемма про удаление моста](#лемма-про-удаление-моста)

35. [Вершинная двусвязность. Компоненты вершинной двусвязности. Минимальная компонента](#вершинная-двусвязность-компоненты-вершинной-двусвязности-минимальная-компонента)

36. [Блок определение (через неразделимый подграф) + 1 из эквивалентных определения на выбор](#блок-определение-через-неразделимый-подграф--1-из-эквивалентных-определения-на-выбор)

37. [Точка сочленения: 2 эквивалентных определения](#точка-сочленения-2-эквивалентных-определения)

38. [Лемму о точке сочленения на выбор любая](#лемма-о-точке-сочленения---на-выбор)

39. [Эксцентриситет](#эксцентриситет)

40. [Радиус, Диаметр и центр](#радиус-диаметр-и-центр)

41. [Планарный граф](#планарный-граф)

42. [Грань планарного графа](#грань-планарного-графа)

43. [Формула Эйлера](#формула-эйлера)

44. [Необходимые условия планарности](#необходимые-условия-планарности)

45. [Критерий планарности](#критерий-планарности)

46. [Дерево ( 2 определения)](#дерево--2-определения)

47. [Граф блоков и точек сочленения](#граф-блоков-и-точек-сочленения)

48. [Граф компонент реберной двусвязности](#граф-компонент-реберной-двусвязности)

49. [Остов графа](#остов-графа)

50. [Цикломатическое число](#цикломатическое-число)

51. [Цикл, ассоциированный с остовом](#цикл-ассоциированный-с-остовом)

52. [Фундаментальная система циклов](#фундаментальная-система-циклов)

53. [Минимальное остовное дерево](#минимальное-остовное-дерево)

54. [Безопасное ребро](#безопасное-ребро)

55. [Разрез](#разрез)

56. [Ребро пересекающее разрез](#ребро-пересекающее-разрез)

57. [Лемма о безопасном ребре](#лемма-о-безопасном-ребре)

58. [Расстояние между двумя вершинами графа](#расстояние-между-двумя-вершинами-графа)

59. [Кратчайший путь между двумя вершинами](#кратчайший-путь-между-двумя-вершинами)

60. [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)

61. [Эйлеров путь](#эйлеров-путь)

62. [Отличие эйлерова и полуэйлерова графов](#отличие-эйлерова-и-полуэйлерова-графов)

63. [Эквивалентные определения эйлерова графа](#эквивалентные-определения-эйлерова-графа)

64. [Теорема о покрытии ребер графа путями](#теорема-о-покрытии-ребер-графа-путями)

65. [Критерий эйлеровости](#критерий-эйлеровости)

66. [Произвольно вычерчиваемый граф](#произвольно-вычерчиваемый-граф)

67. [Теорема о произвольно вычерчиваемом графе](#теорема-о-произвольно-вычерчиваемом-графе)

68. [Принцип построения Произвольно вычерчиваемого графа](#принцип-построения-произвольно-вычерчиваемого-графа)

69. [Гамильтонов путь, полугамильтонов граф](#гамильтонов-путь-полугамильтонов-граф)

70. [Гамильтонов граф, гамильтонов цикл](#гамильтонов-граф-гамильтонов-цикл)

71. [Теорема Оре](#теорема-оре)

72. [Теорема Дирака](#теорема-дирака)

73. [Теорема Гуйя-Ури](#теорема-гуйя-ури)

74. [Для любого ли гамильтонова графа будут выполняться условия теорем о гамильтоновости и почему?](#для-любого-ли-гамильтонова-графа-будут-выполняться-условия-теорем-о-гамильтоновости-и-почему)



## Коллоквиум 4

1. [Метод математической индукции](#метод-математической-индукции)

2. [Определение сочетания (не формулой)](#определение-сочетания-не-формулой)

3. [Формулы для сочетаний без повторений](#формулы-для-сочетаний-без-повторений)

4. [Формулы для сочетаний с повторениями](#формулы-для-сочетаний-с-повторениями)

5. [Определение размещения (не формулой)](#определение-размещения-не-формулой)

6. [Формулы для размещений без повторений](#формулы-для-размещений-без-повторений)

7. [Формулы для размещений с повторениями](#формулы-для-размещений-с-повторениями)

8. [Определение перестановки (не формулой)](#определение-перестановки-не-формулой)

9. [Формула перестановок без повторениями](#формула-перестановок-без-повторениями)

10. [Формула перестановок с повторениями](#формула-перестановок-с-повторениями)

11. [Отличие перестановок и размещений](#отличие-перестановок-и-размещений)

12. [Принцип Дирихле](#принцип-дирихле)

13. [Принцип сложения](#принцип-сложения)

14. [Принцип умножения](#принцип-умножения)

15. [Принцип включения-исключения - формула](#принцип-включения-исключения-формула)

16. [Лексикографический порядок на строках](#лексикографический-порядок-на-строках)

17. [Формирование следующей в лексикографическом порядке перестановки](#формирование-следующей-в-лексикографическом-порядке-перестановки)

18. [Формирование следующего в лексикографическом порядке сочетания той же длины](#формирование-следующего-в-лексикографическом-порядке-сочетания-той-же-длины)

19. [Теорема об эквивалентности формул задающих сочетания (правило симметрии)](#теорема-об-эквивалентности-формул-задающих-сочетания-правило-симметрии)

20. [Теорема Вандермонда](#теорема-вандермонда)

21. [Следствие из теоремы Вандермонда](#следствие-из-теоремы-вандермонда)

22. [Биномиальная теорема](#биномиальная-теорема)

23. [Теорема о сумме сочетаний (следствие из биномиальной)](#теорема-о-сумме-сочетаний-следствие-из-биномиальной)

24. [Теорема о коэффициентах биномиального треугольника](#теорема-о-коэффициентах-биномиального-треугольника)

25. [Алфавит, символ](#алфавит-символ)

26. [Слово / цепочка](#слово-цепочка)

27. [Длина цепочки](#длина-цепочки)

28. [Пустая цепочка](#пустая-цепочка)

29. [Степень алфавита](#степень-алфавита)

30. [Степень языка](#степень-языка)

31. [Конкатенация цепочек](#конкатенация-цепочек)

32. [Конкатенация языков](#конкатенация-языков)

33. [Замыкание Клини](#замыкание-клини)

34. [Формальный язык](#формальный-язык)

35. [Множество регулярных языков](#множество-регулярных-языков)

36. [Регулярное выражение](#регулярное-выражение)

37. [Регулярный язык](#регулярный-язык)

38. [Детерминированный конечный автомат](#детерминированный-конечный-автомат)

39. [Недетерминированный конечный автомат](#недетерминированный-конечный-автомат)

40. [Язык автомата](#язык-автомата)

41. [Теорема Клини](#теорема-клини)



___



## Инцидентность вершин и ребер



> *x* — ребро с концами *u* и *v*, *{u, v}*, тогда *x* инцидентно *u* и *v*, *u* и *v* инцидентны *x*



## Смежность вершин и ребер



> вершины *u* и *v* называются смежными, если являются концами

одного ребра



> ребра *x* и *y* называются смежными, если имеют общую вершину



## Ребро, ориентированное ребро, петля, кратное ребро

> Ребро - неупорядоченная пара *{u, v}*, где *u*, *v* принадлежат V - множеству вершин графа



> Ориентированное ребро - упорядоченная пара *{u, v}*, где *u*, *v* принадлежат V - множеству вершин графа



> Петля - ребро, соединяющее вершину с самой собой



> Кратное ребро: ребро *a* - кратно ребру *b*, если *a* и *b* соединяют однии те же вершины



## Изолированная вершина, висячая вершина и висячее ребро



> Изолированная вершина — вершина

без петель также не являющаяся концом ни одного из ребер

>

> Висячая вершина — вершина, в которую вдет только одно ребро, которое в свою очередь также называется висячим

>

> Висячее ребро - ребро, инцидентное висячей вершине



## Простой граф, ориентированный граф

> Простой граф - граф, не содержащий кратных ребер и петель



> Ориентированный граф - множество вершин *V* и ориентированных ребер *E*



## Мультиграф, псевдограф



> Мультиграф — граф с

параллельными ребрами

>

> Псевдограф — граф, который может содержать:

> * петли

> * и/или параллельные ребра



## Взвешенный, направленный граф



> Взвешенный граф — граф, в котором каждое ребро имеет вес.

>

> Направленный граф — граф без

симметричных ориентированных

ребер (дуг).



## Нуль граф, пустой граф, тривиальный граф

> Нуль граф - граф без ребер



> Пустой граф - граф без вершин



> Тривиальный граф - граф из одной вершины



## Изоморфизм графов. Помеченный граф



> Графы G и G' изоморфны — между их множествами вершин существует взаимно-однозначное

соответствие с сохранением смежности



> Помеченный граф - граф, в котором вершины отличаются друг от друга пометками



## Способы представления графа.

> 1. Диаграмма



> 2. Список смежности



> 3. Матрица смежности — матрица A [V x V] , в которой в ячейке a_ij записано:

> - (неориентир.): число ребер, соединяющих вершины V_i и V_j.

> - (ориентир.): a_ij = 1, если из V_i в V_j идет дуга, иначе 0



> 4. Матрица инцидентности

> - для **неориентированного** графа — матрица A размера |V|x|E|, для которой a_ij = 1, если вершина v_i инцидентна

    ребру e_j, иначе a_ij = 0

> - Матрица инцидентности (для **ориентированного** графа) — матрица A размера |V|x|E|, для которой a_ij = 1, если

    > вершина v_i начало дуги e_j, a_ij = -1, если вершина v_i конец дуги e_j, иначе a_ij = 0



## Описание кратных ребер и петель в матрице смежности

Матрица смежности:



> В **неориентированном** графе кратные ребра кратно увеличивают значения в симметричных ячейках **(i, j) и (j, i)**.

>

> Если i = j, то в **неориентированном**

графе петля учитывается **дважды**.



> В **ориентированном** графе кратные дуги кратно

увеличивают значение в ячейке **(i, j)**.

>

> Если i = j, то в **ориентированном**

графе петля учитывается **единожды**.



## Описание кратных ребер и петель в матрице инцидентности



**очев.** (см. определение)



## Степень вершины в графе (ориентированный и неориентированный графы)

> в **неориентированном**: число ребер, инцидентных этой вершине



> в **ориентированном**:

> - степень входа (deg_+) - число входящих ребер

> - степень выхода (deg_-) - число исходящих ребер



## Лемма о рукопожатиях для неориентированного графа

> Сумма степеней всех вершин графа — четное число, равное удвоенному числу ребер графа.



> Следствие: произвольный граф содержит четное число вершин нечетной

степени.



## Лемма о рукопожатиях для ориентированного графа

> Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин графа — четное число, равно удвоенному числу дуг графа.



## Подграф

> Граф G'(V', E') является **подграфом** G(V, E), если V' ⊆ V, E' ⊆ E. Таким образом каждая вершина или ребро подграфа являются вершиной или ребром исходного графа.



## Надграф

> **Надграф** — граф, полученный путем добавления

новых ребер и/или вершин в исходный граф.



## Собственный подграф, Несобственный подграф

> Собственный подграф - не пустой и не совпадающий с исходным подграф



> пустой или совпадающий с исходным подграф



## Частичный граф



> Частичный граф — состоящий из множества вершин исходного графа и подмножества множества ребер.



*Каждый граф частичен сам себе.*



## Регулярный (однородный) граф, полный граф

> Регулярный (однородный) граф — такой граф что степени всех его вершин равны.

> - Cтепень регулярности — степень вершины регулярного графа.



> Полный граф - простой граф с максимальной степенью вершин



## Дополнение, объединение, пересечение графов

> Дополнение графа до полного — добавляет в исходный граф ребра до полного и удаляет ребра исходного.



> Объединение графов G(V, E) и G'(V', E') — объединяет множества вершин и ребер этих графов



> Пересечение графов G(V, E) и G'(V', E') — пересекает множества вершин и ребер этих графов



## Подразбиение ребра

> Подразбиение ребра — операция, состоящая из удаления ребра *e_0* = (*u*, *v*) и добавления двух новых ребер *e_1* = (*u*, *q*), *e_2* = (*q*, *v*) где *q* — новая вершина степени 2.



## Отождествление вершин

> Если v и v' — вершины различных компонент графа G, то мы можем создать новый граф G' путём отождествления v и v' в G в новую вершину v в G'. Ребро инцидентное *v* и *v'* переходит в петлю.



## Путь. Цепь. Простая цепь

> Путь — последовательность вида v_1, e_1, v_2, e_2, ... v_n, e_n, v_n+1 где e_i ∊ E, v_i ∊ V.



> Цепь — путь без повторяющихся ребер.



> Простая цепь — цепь без повторяющихся вершин (а следовательно и ребер).



## Замкнутый путь, цикл и простой цикл

> Замкнутый путь — такой путь, что его конец и начало совпадают (v_1 = v_n+1).

>

> Цикл — замкнутая цепь.

>

> Простой цикл — замкнутая простая цепь *n* ≥ 3.



## Двудольный граф. Критерий двудольности

> Двудольный граф — это граф, множество вершин которого можно так разбить на два непересекающихся

подмножества (доли) V_1 и V_2, что никакие две вершины из одной доли не смежны.



> Критерий двудольности: граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы в графе имеют чётную длину.



## Вершинно простой путь, Реберно простой путь

> Вершинно простой путь - путь, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза



> Реберно простой путь - путь, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза



## Лемма о простом пути

> Если между двумя вершинами графа - *u*, *v* существует *(u, v)* - путь, то существует и простая *(u, v)* - цепь



## Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Связный граф

> Вершины *u* и *v* связаны, если в графе существует путь *u* --> *v*.



> Компонента связности это максимальный по включению связный подграф.



> Граф связен, если состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.



*Связность — отношение эквивалентности.*



## Слабая связность, компоненты слабой связности. Слабо связный граф

> Слабая связность пары вершин — вершины связаны в неориентированном

варианте исходного графа



> Компонента связности это максимальный по включению слабо связный подграф



> Ориентированный граф *G* связен, если состоит из одной компоненты слабой

связности



## Сильная связность, компоненты сильной связности. Сильно связный граф

> Сильная связность пары вершин — есть как путь u --> v, так и v --> u.



> Компонента связности это максимальный по включению сильно связный подграф



> Граф *G* сильно связен, если состоит из одной компоненты

сильной связности



*Минимальная компонента сильной связности – вершина!*



## Реберная двусвязность. Компоненты реберной двусвязности. Минимальная компонента

> Вершины u и v графа G называются реберно двусвязными, если между ними существует два реберно непересекающихся пути.



> Компоненты - подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберно двусвязности, а множества ребер -

множества ребер из соответствующих классов эквивалентности



> Минимальная компонента - вершина



## Разрезающее множество. Разрез

> Разрезающее множество — множество ребер графа, при удалении которых число компонент связности увеличивается.



> Разрез — минимальное по включению разрезающее множество графа.



## Мост определение + 2 эквивалентных определения на выбор

> Мост — ребро, при удалении которого, граф становится несвязным.



> Эквивалентные определения

> 1. Мост — ребро, соединяющее две компоненты реберной двусвязности

> 2. Ребро *x* — мост в графе *G*, если существует разбиение множества вершин *V* на два подмножества

     *U* и *W* такие, что для любых *u ∈ U* и *w ∈ W*

     ребро *x* принадлежит любому простому пути *(u, w)*

> 3. Ребро *x* — мост в графе *G*, если существуют такие вершины *u* и *w*, что любой простой путь между этими

     вершинами проходит через *x*



## Лемма о цикле и мосте

> Ребро является мостом тогда и только тогда, когда оно не принадлежит ни одному циклу.



## Лемма про удаление моста

> При удалении моста число компоненты связности увеличивается на единицу



## Вершинная двусвязность. Компоненты вершинной двусвязности. Минимальная компонента

> Ребра графа являются вершинно двусвязными, если существуют два вершинно непересекающиеся

пути, соединяющие их концы.



> Компоненты - блоки (подграфы, множества ребер которых - классы эквивалентности вершинной двусвязности,

а множества вершин - множества концов ребер из соответствующих классов)



> Минимальная компонента - ребро



## Блок определение (через неразделимый подграф) + 1 из эквивалентных определения на выбор

> Блок — максимальный неразделимый подграф *(связный граф неразделим, если не содержит точек сочленения)*



> *G* — связный граф, содержащий не менее трех вершин

Тогда эквивалентно:

> 1) *G* — блок

> 2) любые вершины *u* и *v* принадлежат некоторому общему циклу

> 3) в *G* любые вершина и ребро (не петля) принадлежат некоторому общему

     циклу

> 4) в *G* любые 2 ребра (не петли) принадлежат общему циклу

> 5) в *G* для любых 2 вершин и ребра (не петля) существует простая цепь,

     соединяющая эти вершины и проходящая через это ребро

> 6) в *G* для любых вершин *u*, *v* и *w* существует простая *(u, w)* -цепь, проходящая

     через *v*

> 7) в *G* для любых вершин *u*, *v* и *w* существует простая *(u, w)* -цепь, которая не

     проходит через *v*



## Точка сочленения: 2 эквивалентных определения

> 1. Точка сочленения — вершина, при удалении которой, увеличивается

     число компонент связности.



> 2. Вершина, принадлежащая как минимум двум блокам



## Лемма о точке сочленения - на выбор

> **Лемма 1**

>

> Пусть *v* произвольная вершина связного не одноэлементного графа.

Тогда эквивалентно:

> 1) *v* — точка сочленения

> 2) существуют различные *u* и *w* не равные *v*, т.ч. *v* принадлежит любой простой *(u, w)* −цепи

> 3) существует разбиение множества вершин *G* - *v* на два непустых подмножества *U* и *W* такое,

     что для любых *u* ∈ *U* и *w* ∈ *W* : *v* принадлежит любой простой *(u, w)* −цепи



> **Лемма 2**

>

> Любые 2 блока связного графа *G* имеют не более одной общей вершины



> **Лемма 3**

>

> Пусть *G* — блок, содержащий не менее трех вершин,

тогда любые две его вершины принадлежат некоторому общему циклу



> **Лемма 4**

>

> Пусть *G* - блок, содержащий не менее трех вершин,

тогда любые его вершина и ребро лежат на некотором общем цикле



## Эксцентриситет

> Эксцентриситет *v* — расстояние до самой дальней от *v* вершины графа.



## Радиус, Диаметр и центр

> Радиусом графа называется минимальный эксцентриситет среди всех его вершин



> Диаметром графа называется максимальный эксцентриситет среди всех вершин графа



> Центр - вершина, эксцентриситет которой равен радиусу.



## Планарный граф

> Планарным называется граф, который можно уложить на плоскости



*граф укладывается на поверхности S, если его можно

нарисовать на S, что никакие два его ребра не пересекаются*



## Грань планарного графа

> Грань планарного графа - максимальный участок плоскости, такой, что любые точки этого участка

могут быть соединены кривой, не пересекающей ребро графа.

>

> Харари: области, на которые граф разбивает плоскость, называются ***гранями***. Неограниченная область

называется Внешней гранью.



## Формула Эйлера

> Для произвольного плоского связного графа G с V вершинами, E ребрами и F гранями справедливо следующее соотношение:

>

> ***V − E + F = 2***



## Необходимые условия планарности

> 1. Для любого простого связного планарного графа с *V* вершинами и *E* ребрами, где *V ≥ 3*,

     выполняется неравенство ***E ≤ 3V − 6***

> 2. В любом планарном графе есть вершина, степень которой не превосходит 5

> 3. Для любого простого связного планарного двудольного графа с *V* вершинами и *E* ребрами,

     где ***V ≥ 3***, выполняется неравенство ***E ≤ 2V − 4***



## Критерий планарности

> Критерий планарности Понтрягина-Куратовского:

>

> Граф планарен тогда и только тогда, когда он не

содержит подграфов, гомеоморфных графам *K_5* или *K_3,3*



## Дерево ( 2 определения)

> Связный ациклический граф



> Граф, в котором любые две вершины соединены единственным простым путем



## Граф блоков и точек сочленения

> Двудольный граф, где одна доля — точки сочленения, другая — блоки, сжатые в виде вершин.



## Граф компонент реберной двусвязности

> Cвязный граф, где компоненты реберной двусвязности сжаты в виде вершин и соединяются мостами исходного графа.



## Остов графа

> Cвязный, ацикличный, частичный граф исходного графа.



## Цикломатическое число

> Количество ребер, которые необходимо удалить, чтобы получить остов



## Цикл, ассоциированный с остовом

> Цикл, полученный добавлением к остову ребра исходного графа, не принадлежащего остову



## Фундаментальная система циклов

> Множество циклов графа, ассоциированное с остовом (полученное путем поочередного добавления каждого ребра из множества удаленных ребер к остову).



## Минимальное остовное дерево

> Минимальное остовное дерево графа G = (V, E) — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер.



## Безопасное ребро

*Пусть G' — подграф некоторого минимального остовного дерева графа G = (V, E).*



> Ребро (*u*, *v*) ∉ *G'* называется безопасным, если при добавлении его в *G'*, *G'* ∪ {(*u*, *v*)} также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа *G*.



## Разрез

> Разрезом неориентированного графа *G* = (*V*, *E*) называется разбиение *V* на два непересекающихся подмножества: *S* и *T* = *V* ∖ *S*. Обозначается как ⟨*S*, *T*⟩.



## Ребро пересекающее разрез

> Ребро (*u*, *v*) ∈ *E* пересекает разрез ⟨*S*, *T*⟩, если один из его концов принадлежит множеству *S*, а другой — множеству *T*.



## Лемма о безопасном ребре

> Рассмотрим произвольный разрез какого-либо подграфа минимального остова. Тогда ребро минимального веса, пересекающее этот разрез, является безопасным.



## Расстояние между двумя вершинами графа

> Расстояние между _u_ и _v_ - _d(u, v)_ — длина минимального маршрута из _u_ в _v_.



## Кратчайший путь между двумя вершинами

> Путь с минимальным суммарным весом ребер



## Лемма о белых путях

> Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.



- если вершина белая, значит, мы в ней еще не были, вершина не пройдена;

- серая — вершина проходится в текущей процедуре dfs

- черная — вершина пройдена, все итерации dfs от нее завершены.



## Эйлеров путь

> Эйлеров путь - проходит через все ребра графа по одному разу



## Отличие эйлерова и полуэйлерова графов

> Эйлеров граф — содержит эйлеров цикл

>

> Полуэйлеров граф — содержит эйлеров путь, но не содержит эйлеров цикл



## Эквивалентные определения эйлерова графа

> Для не одноэлементного связного графа следующие условия эквивалентны:

> 1) 𝐺 − эйлеров;

> 2) все вершины имеют четную степень;

> 3) множество всех ребер 𝐺 можно разбить на циклы.



## Теорема о покрытии ребер графа путями

> Если _G_ − граф, в котором 2*N* вершин имеет нечетную степень, то _G_ можно покрыть _N_ реберно-простыми путями.



## Критерий эйлеровости

> _G(V, E)_ - эйлеров тогда и только тогда, когда:

> - все вершины имеют четную степень;

> - все компоненты связности кроме одной не содержат рёбер.



_Следствие: если в графе только две вершины имеют нечетную степень, то в нем есть Эйлеров путь_



## Произвольно вычерчиваемый граф

> _G_ − произвольно вычерчиваемый из вершины _v_, если любая цепь с началом в _v_ может быть продлена до

эйлерова цикла графа _G_



## Теорема о произвольно вычерчиваемом графе

> _G_ − не одноэлементный эйлеров граф произвольно вычерчиваем из _v <=> v_ принадлежит любому циклу графа

_G_



## Принцип построения Произвольно вычерчиваемого графа

> 1. Произвольный лес + вершина 𝑣

> 2. Соединить все вершины с 𝑣

> - нечетной степени - нечетным числом ребер

>

> - четной степени - четным числом ребер

> 3. Можно добавить петель в 𝑣



## Гамильтонов путь, полугамильтонов граф

> Гамильтонов путь — проходит через все вершины графа по одному разу

>

> Полугамильтонов граф - содержит гамильтонов путь



## Гамильтонов граф, гамильтонов цикл



> Гамильтонов цикл — замкнутый гамильтонов путь

>

> Гамильтоов граф - содержит гамильтонов цикл



## Теорема Оре

> Если 𝑛 ≥ 3 и для любых несмежных вершин сумма степеней будет не менее числа вершин в

неориентированном графе, то этот граф гамильтонов



## Теорема Дирака

> Если в неориентированном графе 𝑛 ≥ 3 и минимальная степень вершины не менее половины

от общего числа вершин, то этот граф гамильтонов



## Теорема Гуйя-Ури

>  ориентированный граф:

>

> Если _G_ — сильно связный ориентированный граф c _n_ вершинами и для каждой 𝑣 ∈ _V(G)_ выполняется:

>

> *deg_+(v) >= n/2*

>

> *deg_-(v) >= n/2*



## Для любого ли гамильтонова графа будут выполняться условия теорем о гамильтоновости и почему?

> Нет. Теоремы Оре, Дирака и Гуйа-Ури - это **_достаточные_** условия гамильтоновости графа.



___



# extra

## Симметричные дуги

> Дуги вида (*u*, *v*) и (*v*, *u*) в некотором графе.



*u*, *v* ∊ V(G)



(*u*, *v*), (*v*, *u*) ∊ E(G)



## Стягивание ребра



> Ребро *e* удаляется, а две его инцидентные вершины, *u* и *v*, сливаются в новую вершину *w*, где рёбра, инцидентные *w*, соответствуют рёбрам, инцидентным либо *u*, либо *v*. Ребро инцидентное *u* и *v* **НЕ** переходит в петлю на *w*.



*Частный случай отождествления вершин*



## Хроматическое число



> Хроматическим числом графа называется минимальное число цветов, которыми можно раскрасить вершины графа так, что никакое ребро не будет иметь начало и конец одного цвета.



## Клика, кликовое число



> Кликой в неориентированном графе G = (V,E) называется подмножество вершин C ⊆ V, такое что для любых двух вершин в C существует ребро, их соединяющее. Эквивалентно утверждению, что подграф, порождённый

C, является полным.



> Кликовое число графа — это число вершин в наибольшей клике графа.



## Гомеоморфизм графов



> Графы *G* и *G'* изоморфны если изоморфны некоторый *G_0*, являющийся подразбиением *G*, и, некоторый *G_0'*, являющийся подразбиением *G'*.



---



## Метод математической индукции

> Метод доказательства утверждения, зависящих от натурального аргумента.

> P(n), зависящее от натурального числа n - справедливо для любого n, если:

> - P(1) является истинным утверждением

> - P остается истинным утверждением, если n увеличить на единицу: P(n + 1) является истинным утверждением

>

## Определение сочетания (не формулой)

> Неупорядоченный набор размера k из n элементов - C(n, k)

## Формулы для сочетаний без повторений

> $$ \frac {n!}{(n-k)! \cdot k!} $$

## Формулы для сочетаний с повторениями

> $$ \frac {(n + k - 1)!}{(n - 1)! \cdot k!} $$

## Определение размещения (не формулой)

> Упорядоченная последовательность длины k из n элементов - A(n, k)

## Формулы для размещений без повторений

> $$ \frac {n!}{(n - k)!} $$

## Формулы для размещений с повторениями

> $$ n^k $$

## Определение перестановки (не формулой)

> Переупорядочение набора элементов - P(n)

## Формула перестановок без повторений

> $$ n! $$

## Формула перестановок с повторениями

> $$ \frac {n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} $$

## Отличие перестановок и размещений

> Перестановки задействуют все элементы набора, а размещения

только часть его элементов.

## Принцип Дирихле

> Если поместить n + 1 объект в n контейнеров, то по крайней мере в

одном контейнере будет более одного объекта.

>

> Если m объектов помещены в n контейнеров, то по крайней мере в одном контейнере

> находятся не более m/n с округлением вверх объектов, а также

> по крайней мере в одном контейнере

> находятся не менее m/n с округлением вниз объектов



## Принцип сложения

> Пусть S_1, S_2, ..., S_m - попарно непересекающиеся множества.

Пусть для каждого i, множество S_i содержит n_i элементов.

Тогда выбрать один элемент из них можно n_1 + n_2 +...+ n_m способами.

## Принцип умножения

> Пусть задана последовательность событий E_1, E_2, ..., E_m таких, что E_1 осуществляется n_1 способами,

> E_2 - n_2 способами и т.д. Тогда вся эта последовательность (упорядоченная) может быть осуществлена n_1 * n_2 *...* n_m способами.

## Принцип включения-исключения - формула

> Пусть S, T - любые множества. Тогда количество вариантов выбора одного элемента из них равно

> |S u T| = |S| + |T| - |S ^ T|

## Лексикографический порядок на строках

> A = a_1 a_2 a_3 ... a_n

> B = b_1 b_2 b_3 ... b_m

>

> A лексикографически меньше B, если выполняется одно из условий:

> - a_i = b_i для всех 0 <= i <= n, при этом n < m

> - (∃k <= min(n, m) : a_k < b_k) && (∀i, j < k : a_i = b_j)

> -

## Формирование следующей в лексикографическом порядке перестановки

>

## Формирование следующего в лексикографическом порядке сочетания той же длины

>

## Теорема об эквивалентности формул задающих сочетания (правило симметрии)

>

## Теорема Вандермонда

>

## Следствие из теоремы Вандермонда

>

## Биномиальная теорема

>

## Теорема о сумме сочетаний (следствие из биномиальной)

>

## Теорема о коэффициентах биномиального треугольника

>

## Алфавит, символ

> Алфавит — конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой Σ

>

> Символ — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.



## Слово / цепочка

> Слово или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.



## Длина цепочки

> Длина цепочки — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки w обычно обозначают |w|.

## Пустая цепочка

> Пустая цепочка — цепочка, не содержащая ни одного символа.

> Эту цепочку, обозначаемую ε, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.

> Для любой строки α∈Σk верно: αε = εα = α



## Степень алфавита

> Выражение множества всех цепочек определенной длины,

состоящих из символов данного алфавита. Σ^k — множество всех цепочек длины k, состоящих из символов

алфавита Σ



## Степень языка

>



## Конкатенация цепочек

> Σk — множество цепочек длины k над алфавитом Σ.

>

> Σ∗ = ⋃(k=0, ∞) Σk — множество всех цепочек (объединение множеств цепочек длин k: от 0 до ∞) над алфавитом Σ.

>

> Пусть α, β ∈ Σ∗. Тогда α⋅β или αβ обозначает их конкатенацию, то есть цепочку, в которой последовательно записаны

> цепочки α и β.



## Конкатенация языков

> Язык, состоящий из конкатенации цепочек данных языков.



## Замыкание Клини

> L* - множество всех строк конечной длины, порожденное

элементами множества L



## Формальный язык

> Формальный язык над алфавитом Σ - некоторое подмножество 𝛴∗



## Множество регулярных языков

> Множество регулярных языков REG над алфавитом Σ = {c1,c2,…,ck} — множество, которое может быть получено из языков,

> каждый из которых содержит единственное слово — c_i или ε, и пустого языка при помощи последовательных применений

> операций объединения, конкатенации или замыкания Клини и никаких других.



## Регулярное выражение

> Регулярное выражение над алфавитом Σ={c1,c2,…,ck} — способ порождения языка над Σ.

> Определяется рекурсивно следующим образом:

>

> - Для любого i слово c_i является регулярным выражением, задающим язык из одного слова c_i.

> - ε является регулярным выражением, задающим язык из одной пустой строки, а ∅ — пустой язык.

> - Если α1 и α2 являются регулярными выражениями, задающими языки L1 и L2 соответственно,

    то (α1)|(α2) — регулярное выражение, задающее L1 ⋃ L2

> - Если α1 и α2 являются регулярными выражениями, задающими языки L1 и L2 соответственно, то (α1)(α2) —

    регулярное выражение, задающее L1L2

> - Если α1 является регулярным выражением, задающим язык L1, то (α1)∗ — регулярное выражение, задающее L∗1

> - Операции указаны в порядке возрастания приоритета, при этом скобки повышают приоритет аналогично арифметическим выражениям.



Утверждение: по построению очевидно, что множество языков, порождаемых регулярными выражениями, совпадает со

множеством регулярных языков.



## Регулярный язык

> Множество слов, порождаемых некоторым регулярным выражением



## Детерминированный конечный автомат

> набор из пяти элементов - Σ, 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑄, 𝑇 ⊆ 𝑄,

> 𝛿: 𝑄 × Σ ⟶ 𝑄, где:

> - Σ— алфавит

> - 𝑄 — множество состояний

> - 𝑠 — начальное (стартовое) состояние

> - 𝑇 — множество допускающих состояний

> - 𝛿 — функция переходов



## Недетерминированный конечный автомат

> набор из пяти элементов - Σ, 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑄, 𝑇 ⊆ 𝑄,

> 𝛿: 𝑄 × Σ ⟶ 2^𝑄, где:

> - Σ — алфавит

> - 𝑄 — множество состояний

> - 𝑠 — начальное (стартовое) состояние

> - 𝑇 — множество допускающих состояний

> - 𝛿 — функция переходов



## Язык автомата

> L(A) - язык автомата А - множество всех принимаемых им слов.

> Произвольный язык является автоматным, если существует ДКА, допускающий

> те и только те слова, которые принадлежат языку.



Строка принимается автоматом, если последнее состояние принадлежит множеству F (терминальных) — иначе отвергается.



## Теорема Клини

> REG = AUT

Классы регулярных и автоматных языков совпадают