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https://github.com/ihkyoung/latex
✨ LaTeX 数学公式语法手册大全 2.0 📘
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✨ LaTeX 数学公式语法手册大全 2.0 📘
- Host: GitHub
- URL: https://github.com/ihkyoung/latex
- Owner: IHKYoung
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- Last Pushed: 2025-02-08T16:03:50.000Z (2 days ago)
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# ✨ LaTeX 数学公式语法大全 2.0 📘
[在线阅读](https://ahaknow.com/posts/know/latex/)
[两年前的版本](OldVersion.md)，说来惭愧，当时Push完就没再管了，这次重新整理了一下，助人也助己，希望对大家有所帮助~
---
如果有写错的地方，欢迎指正，感谢！😘
# 📘 **LaTeX 语法**
## **📐 1. LaTeX 数学模式**
### **1.1. 行内数学模式**
在文本中插入数学公式：
```latex
$E=mc^2$
```
$E=mc^2$ 行内模式的数学公式，适用于正文中的数学表达。
### **1.2. 独立数学模式**
使数学公式独占一行：
```latex
$$
E=mc^2
$$
```
独立模式的数学公式，适用于单独一行的数学表达。
$$
E=mc^2
$$
### **1.3. 带编号公式**
```latex
\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}
```
$$
\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}
$$
带有编号的数学公式，适用于论文或报告中公式引用。（Markdown中可能无法显示编号 ）
---
## **🔣 2. 保留字符**
LaTeX 环境中具有特殊含义的保留字符，不能直接使用，必须通过指定的语法实现：
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| --- | ------------ | -------------- |
| # | `\#` | 井号，数学环境中无特殊含义 |
| $ | `\$` | 美元符号，通常用于货币符号 |
| % | `\%` | 百分号，表示百分比 |
| & | `\&` | 与符号，通常用于逻辑表达 |
| _ | `\_` | 下划线，LaTeX 需要转义 |
| {} | `\{ \}` | 花括号，用于分组 |
| \ | `\backslash` | 反斜杠，LaTeX 转义符 |
---
## **🔠 3. 希腊字母**
### **3.1. 小写希腊字母**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文音译 |
| ------------- | ------------- | ----------------- |
| $\alpha$ | `\alpha` | 阿尔法 |
| $\beta$ | `\beta` | 贝塔 |
| $\gamma$ | `\gamma` | 伽马 |
| $\delta$ | `\delta` | 德尔塔 |
| $\epsilon$ | `\epsilon` | 艾普西龙（普通 epsilon） |
| $\varepsilon$ | `\varepsilon` | 伪艾普西龙（变体 epsilon） |
| $\zeta$ | `\zeta` | 截塔 |
| $\eta$ | `\eta` | 伊塔 |
| $\theta$ | `\theta` | 西塔 |
| $\vartheta$ | `\vartheta` | 变体西塔 |
| $\iota$ | `\iota` | 约塔 |
| $\kappa$ | `\kappa` | 卡帕 |
| $\lambda$ | `\lambda` | 兰布达 |
| $\mu$ | `\mu` | 缪 |
| $\nu$ | `\nu` | 纽 |
| $\xi$ | `\xi` | 克西 |
| $\pi$ | `\pi` | 派（圆周率） |
| $\varpi$ | `\varpi` | 变体派 |
| $\rho$ | `\rho` | 罗 |
| $\varrho$ | `\varrho` | 变体罗 |
| $\sigma$ | `\sigma` | 西格玛 |
| $\varsigma$ | `\varsigma` | 终结西格玛（变体 sigma） |
| $\tau$ | `\tau` | 陶 |
| $\upsilon$ | `\upsilon` | 宇普西龙 |
| $\phi$ | `\phi` | 菲 |
| $\varphi$ | `\varphi` | 变体菲 |
| $\chi$ | `\chi` | 氚（发音接近“开”） |
| $\psi$ | `\psi` | 普赛 |
| $\omega$ | `\omega` | 欧米伽 |
### **3.2. 大写希腊字母**
|符号|LaTeX 代码|中文音译|
|---|---|---|
|$\Gamma$|`\Gamma`|伽马（大写）|
|$\Delta$|`\Delta`|德尔塔（大写）|
|$\Theta$|`\Theta`|西塔（大写）|
|$\Lambda$|`\Lambda`|兰布达（大写）|
|$\Xi$|`\Xi`|克西（大写）|
|$\Pi$|`\Pi`|派（大写，数学常用于求和）|
|$\Sigma$|`\Sigma`|西格玛（大写，数学常用于求和）|
|$\Upsilon$|`\Upsilon`|宇普西龙（大写）|
|$\Phi$|`\Phi`|菲（大写）|
|$\Psi$|`\Psi`|普赛（大写）|
|$\Omega$|`\Omega`|欧米伽（大写，数学物理常用）|
---
## **➗ 4. 二元运算符**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| ------------ | ------------ | ------------- |
| $+$ | `+` | 加号 |
| $-$ | `-` | 减号 |
| $\times$ | `\times` | 乘号 |
| $\div$ | `\div` | 除号 |
| $\cdot$ | `\cdot` | 乘积点 |
| $\oplus$ | `\oplus` | 直和（用于向量空间、群论） |
| $\ominus$ | `\ominus` | 直差 |
| $\otimes$ | `\otimes` | 直积 |
| $\oslash$ | `\oslash` | 直除 |
| $\odot$ | `\odot` | 圆点乘法 |
| $\star$ | `\star` | 星乘法 |
| $\circ$ | `\circ` | 复合映射 |
| $\bullet$ | `\bullet` | 实心点（乘法或列表符号） |
| $\pm$ | `\pm` | 正负号 |
| $\mp$ | `\mp` | 负正号 |
| $\bigoplus$ | `\bigoplus` | 直和运算符（大运算符版本） |
| $\bigotimes$ | `\bigotimes` | 直积运算符（大运算符版本） |
| $\bigodot$ | `\bigodot` | 直乘运算符（大运算符版本） |
---
## **⚖️ 5. 二元关系符**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$=$|`=`|等于|
|$\neq$|`\neq`|不等于|
|$\approx$|`\approx`|约等于|
|$\equiv$|`\equiv`|恒等于|
|$<$|`<`|小于|
|$>$|`>`|大于|
|$\leq$|`\leq`|小于等于|
|$\geq$|`\geq`|大于等于|
|$\ll$|`\ll`|远小于|
|$\gg$|`\gg`|远大于|
|$\prec$|`\prec`|先于（偏序关系）|
|$\succ$|`\succ`|后于（偏序关系）|
|$\preceq$|`\preceq`|小于等于（偏序）|
|$\succeq$|`\succeq`|大于等于（偏序）|
|$\sim$|`\sim`|相似于|
|$\nsim$|`\nsim`|不相似|
|$\simeq$|`\simeq`|同构|
|$\asymp$|`\asymp`|渐近等于|
|$\propto$|`\propto`|成比例|
---
## **🧠 6. 逻辑符号**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\wedge$|`\wedge`|逻辑与（合取）|
|$\vee$|`\vee`|逻辑或（析取）|
|$\neg$|`\neg`|逻辑非（否定）|
|$\Rightarrow$|`\Rightarrow`|蕴含（如果...那么）|
|$\Leftrightarrow$|`\Leftrightarrow`|当且仅当|
|$\forall$|`\forall`|对所有|
|$\exists$|`\exists`|存在|
|$\nexists$|`\nexists`|不存在|
|$\top$|`\top`|逻辑真|
|$\bot$|`\bot`|逻辑假|
---
## **📦 7. 集合符号**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\emptyset$|`\emptyset`|空集|
|$\in$|`\in`|属于|
|$\notin$|`\notin`|不属于|
|$\subseteq$|`\subseteq`|子集|
|$\subset$|`\subset`|真子集|
|$\nsubseteq$|`\nsubseteq`|不是子集|
|$\supset$|`\supset`|包含|
|$\supseteq$|`\supseteq`|超集|
|$\nsupseteq$|`\nsupseteq`|不是超集|
|$\cup$|`\cup`|并集|
|$\cap$|`\cap`|交集|
|$\setminus$|`\setminus`|差集|
|$\bigcup$|`\bigcup`|大并集|
|$\bigcap$|`\bigcap`|大交集|
---
## **↔️ 8. 箭头符号**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\to$|`\to`|右箭头|
|$\leftarrow$|`\leftarrow`|左箭头|
|$\Rightarrow$|`\Rightarrow`|右蕴含箭头|
|$\Leftarrow$|`\Leftarrow`|左蕴含箭头|
|$\leftrightarrow$|`\leftrightarrow`|左右箭头|
|$\Leftrightarrow$|`\Leftrightarrow`|双向蕴含箭头|
|$\longrightarrow$|`\longrightarrow`|长右箭头|
|$\longleftarrow$|`\longleftarrow`|长左箭头|
|$\mapsto$|`\mapsto`|映射箭头|
|$\longmapsto$|`\longmapsto`|长映射箭头|
|$\uparrow$|`\uparrow`|向上箭头|
|$\downarrow$|`\downarrow`|向下箭头|
|$\updownarrow$|`\updownarrow`|上下箭头|
|$\Uparrow$|`\Uparrow`|向上双箭头|
|$\Downarrow$|`\Downarrow`|向下双箭头|
|$\Updownarrow$|`\Updownarrow`|上下双箭头|
## **🔢 9. 分数**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\frac{a}{b}$|`\frac{a}{b}`|普通分数|
|$\dfrac{a}{b}$|`\dfrac{a}{b}`|强制分数（适用于行内公式）|
|$\tfrac{a}{b}$|`\tfrac{a}{b}`|小型分数（适用于较小的公式）|
---
## **✔️ 10. 根式**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\sqrt{x}$|`\sqrt{x}`|平方根|
|$\sqrt[n]{x}$|`\sqrt[n]{x}`|n 次方根|
---
## **📈 11. 指数与对数**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$a^b$|`a^b`|指数|
|$e^x$|`e^x`|自然指数|
|$\log x$|`\log x`|对数（默认底数为10）|
|$\ln x$|`\ln x`|自然对数（底数为 e）|
|$\log_a b$|`\log_a b`|底数 a 的对数|
---
## **📉 12. 微分与导数**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| ------------------------------- | ------------------------------- | ---------- |
| $\frac{d}{dx} f(x)$ | `\frac{d}{dx} f(x)` | 一阶导数 |
| $\frac{d^2}{dx^2} f(x)$ | `\frac{d^2}{dx^2} f(x)` | 二阶导数 |
| $\frac{\partial f}{\partial x}$ | `\frac{\partial f}{\partial x}` | 偏导数 |
| $\nabla f$ | `\nabla f` | 梯度 |
| $\Delta f$ | `\Delta f` | 拉普拉斯算子 |
| $\dot{x}$ | `\dot{x}` | 一阶导数（牛顿记号） |
| $\ddot{x}$ | `\ddot{x}` | 二阶导数（牛顿记号） |
---
## **🔝 13. 极限**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\lim_{x \to a} f(x)$|`\lim_{x \to a} f(x)`|极限|
|$\lim_{x \to \infty} f(x)$|`\lim_{x \to \infty} f(x)`|无穷极限|
---
## **∫ 14. 积分**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\int f(x)dx$|`\int f(x)dx`|不定积分|
|$\int_{a}^{b} f(x)dx$|`\int_{a}^{b} f(x)dx`|定积分|
|$\iint f(x,y)dxdy$|`\iint f(x,y)dxdy`|二重积分|
|$\iiint f(x,y,z)dxdydz$|`\iiint f(x,y,z)dxdydz`|三重积分|
---
## **✍️ 15. 矩阵**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| --------------------------------------------- | ---------------------------------------------- | ----- |
| $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ | `\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}` | 方括号矩阵 |
| $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ | `\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}` | 圆括号矩阵 |
| $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ | `\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}` | 行列式 |
| $\begin{Vmatrix} a & b \ c & d \end{Vmatrix}$ | `\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}` | 双竖线矩阵 |
| $\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix}$ | `\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}` | 无括号矩阵 |
---
## ➡️ 16. **向量**
### **16.1 向量的加粗表示**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| --------------------- | --------------------- | ----------------------------------- |
| $\mathbf{v}$ | `\mathbf{v}` | 向量，适用于字母 |
| $\mathbf{v}$ | `\bm{v}` | 加粗向量（适用于所有数学符号，需 `\usepackage{bm}`） |
| $\boldsymbol{\alpha}$ | `\boldsymbol{\alpha}` | 加粗希腊字母（适用于 `\alpha, \beta` 等） |
### **16.2. 向量的箭头表示**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\vec{v}$|`\vec{v}`|向量符号，表示带箭头的向量|
|$\overrightarrow{AB}$|`\overrightarrow{AB}`|表示从 A 指向 B 的向量|
|$\overleftarrow{AB}$|`\overleftarrow{AB}`|表示从 B 指向 A 的向量|
### **16.3 单位向量**
单位向量表示方向向量，通常用 **加帽符号**：
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\hat{v}$|`\hat{v}`|单位向量|
|$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$|`\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}`|直角坐标系中的标准基向量|
### **16.4 向量的点积与叉积**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$|`\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}`|向量的点积|
|$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$|`\mathbf{a} \times \mathbf{b}`|向量的叉积|
---
## 🔄 **17. 方程与方程组**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\begin{align} x + y &= 2 \ x - y &= 0 \end{align}$|`\begin{align} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align}`|对齐的方程组|
|$\begin{cases} ax + by = c \ dx + ey = f \end{cases}$|`\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}`|分段定义或方程组|
---
## ✏️ **18. 空格与换行**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| ------------------------ | ------------------------ | --------- |
| $a\ b$ | `a\ b` | 小空格 |
| $a\quad b$ | `a\quad b` | 大空格 |
| $a\qquad b$ | `a\qquad b` | 超大空格 |
| $a\ b$ | `a\\ b` | 换行 |
| $a,b$ | `a\,b` | 细小空格 |
| $a!b$ | `a\!b` | 负空格（缩小间距） |
| $\text{This is a~test.}$ | `\text{This is a~test.}` | 硬空格 |
---
## 🎨 **19. 颜色**
|符号|LaTeX 代码|中文说明|
|---|---|---|
|$\textcolor{red}{text}$|`\textcolor{red}{text}`|颜色（红色）|
|$\textcolor{blue}{text}$|`\textcolor{blue}{text}`|颜色（蓝色）|
|$\color{green}text$|`\color{green}text`|颜色（绿色）|
---
## 🖍️ **20. 字体**
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
| ------------- | ------------- | ---------- |
| $\mathbf{x}$ | `\mathbf{x}` | 加粗 |
| $\mathit{x}$ | `\mathit{x}` | 斜体 |
| $\mathcal{L}$ | `\mathcal{L}` | 手写体 |
| $\mathbb{R}$ | `\mathbb{R}` | 黑板体（常用于数集） |
| $\mathrm{x}$ | `\mathrm{x}` | 直立体 |
| $\mathtt{x}$ | `\mathtt{x}` | 打字机字体 |
| $\mathscr{L}$ | `\mathscr{L}` | 花体（数学符号） |
---
# 💎**完整示例**
## **🌊 1. 线性代数**
### **1.1 矩阵乘法**
给定两个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，它们的**矩阵乘法**定义如下：
```latex
$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$
```
$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$
**说明**：矩阵 $C$ 的元素 $C_{ij}$ 由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列按**对应元素相乘后求和**得到。
---
### **1.2 特征值与特征向量**
对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在非零向量 $\bm{v}$ 和标量 $\lambda$ 使得：
```latex
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
```
则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的**特征值**，$\mathbf{v}$ 为对应的**特征向量**。
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
**说明**：当矩阵 $A$ 作用于向量 $\mathbf{v}$ 上时，$\mathbf{v}$ 仅仅被缩放（即乘以特征值 $\lambda$），方向不变。
---
### **1.3 奇异值分解（SVD）**
任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 可分解为：
```latex
$$
A = U \Sigma V^T
$$
```
其中：
- $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是正交矩阵，
- $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵，
- $\Sigma$ 是对角矩阵，包含奇异值 $\sigma_i$。
$$
A = U \Sigma V^T
$$
**说明**：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于**降维、压缩、信号处理等**。
---
## **🎲 2. 概率统计**
### **2.1 贝叶斯定理**
对于事件 $A$ 和 $B$，如果 $P(B) > 0$，则贝叶斯定理表示为：
```latex
$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$
```
$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$
**说明**：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于**机器学习、医学诊断、自然语言处理等**领域。
---
### **2.2 期望与方差**
#### **2.2.1 期望**
设随机变量 $X$ 服从概率分布 $P(X)$，则：
```latex
$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$
```
$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$
**说明**：数学期望表示随机变量 $X$ 的**加权平均值**，即它的**平均趋势**。
#### **2.2.2 方差**
随机变量 $X$ 的方差定义为：
```latex
$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$
```
$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$
**说明**：方差度量了随机变量 $X$ **偏离均值的程度**，方差越大，数据的离散性越强。
---
### **2.3 高斯分布（正态分布）**
随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$ 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：
```latex
$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$
```
$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$
**说明**：高斯分布是**最重要的概率分布**之一，在**自然科学、工程、机器学习等领域**中应用广泛。
---
## **🤖 3. 机器学习**
### **3.1 线性回归模型**
在**线性回归模型**中，如果试图找到一个线性函数来拟合数据点 $(x_i, y_i)$，那么数学表达式如下：
```latex
$$
y = w^T x + b
$$
```
$$
y = w^T x + b
$$
使用最小二乘法（OLS）来估计参数 $w$，会用到最小化**均方误差（MSE）**：
```latex
$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$
```
$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$
**说明**：线性回归是**机器学习最基础的回归模型**，在**统计建模、预测分析**等领域广泛应用。
---
### **3.2 Kullback-Leibler (KL) 散度**
KL 散度用于衡量两个概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 之间的差异，定义如下：
```latex
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$
```
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$
或者对于连续概率分布：
```latex
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$
```
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$
**说明**：KL 散度用于衡量两个概率分布之间的**相对熵**，在**信息论、概率统计、机器学习**等领域中应用广泛。