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https://github.com/jaalonso/calculemus

Ejercicios de demostración con Lean e Isabelle/HOL.
https://github.com/jaalonso/calculemus

isabelle lean

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Ejercicios de demostración con Lean e Isabelle/HOL.

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README 

        
#+TITLE: Calculemus (Ejercicios de demostración asistida por ordenador)



En este repositorio se encuentran los ejercicios propuestos en [[https://www.glc.us.es/~jalonso/calculemus][Calculemus]] para

demostrarlos con asistentes de pruebas (como Isabelle/HOL y Lean).



+ [[./textos/Reto f (f (f b)) = f b.md][Reto f (f (f b)) = f b]].

+ [[./textos/Teorema de Nicómaco.md][Teorema de Nicómaco]].

+ [[./textos/Praeclarum theorema.md][Praeclarum theorema]].

+ [[./textos/El problema lógico del mal.md][El problema lógico del mal]].

+ [[./textos/La dama o el tigre.md][La dama o el tigre]].

+ [[./textos/El problema de los infectados.md][El problema de los infectados]].

+ [[./textos/El problema del barbero.md][El problema del barbero]].

+ [[./textos/Las reflexivas circulares son simétricas.md][Las reflexivas circulares son simétricas]].

+ [[./textos/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.md][Propiedad de monotonía de la intersección]] (En [[./src/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy//Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.md][Propiedad semidistributiva de la intersección sobre la unión]] (En [[./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.md][Diferencia de diferencia de conjuntos]] (En [[./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.lean][Lean]] y en [[./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.md][2ª propiedad semidistributiva de la intersección sobre la unión]] (En [[./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union_2.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.md][2ª diferencia de diferencia de conjuntos]] (En [[./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos_2.lean][Lean]] y en [[./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_de_la_interseccion.md][Conmutatividad de la intersección]] (En [[./src/Conmutatividad_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Conmutatividad_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_con_su_union.md][Intersección con su unión]] (En [[./src/Interseccion_con_su_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_con_su_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_con_su_interseccion.md][Unión con su intersección]] (En [[./src/Union_con_su_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_con_su_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_con_su_diferencia.md][Unión con su diferencia]] (En [[./src/Union_con_su_diferencia.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_con_su_diferencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Diferencia_de_union_e_interseccion.md][Diferencia de unión e intersección]] (En [[./src/Diferencia_de_union_e_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Diferencia_de_union_e_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_de_pares_e_impares.md][Unión de los conjuntos de los pares e impares]] (En [[./src/Union_de_pares_e_impares.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_de_pares_e_impares.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.md][Intersección de los primos y los mayores que dos]] (En [[./src/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.md][Distributiva de la intersección respecto de la unión general]] (En [[./src/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_de_intersecciones.md][Intersección de intersecciones]] (En [[./src/Interseccion_de_intersecciones.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_de_intersecciones.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_con_interseccion_general.md][Unión con intersección general]] (En [[./src/Union_con_interseccion_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_con_interseccion_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion.md][Imagen inversa de la intersección]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_union.md][Imagen de la unión]] (En [[./src/Imagen_de_la_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen.md][Imagen inversa de la imagen]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_imagen.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.md][Subconjunto de la imagen inversa]] (En [[./src/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Subconjunto_de_la_imagen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.md][Imagen inversa de la imagen de aplicaciones inyectivas]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_imagen_de_aplicaciones_inyectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_imagen_inversa.md][Imagen de la imagen inversa]] (En [[./src/Imagen_de_la_imagen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_imagen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.md][Imagen de imagen inversa de aplicaciones suprayectivas]] (En [[./src/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_imagen_inversa_de_aplicaciones_suprayectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.md][Monotonía de la imagen de conjuntos]] (En [[./src/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.lean][Lean]] y en [[./thy/Monotonia_de_la_imagen_de_conjuntos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Monotonia_de_la_imagen_inversa.md][Monotonía de la imagen inversa]] (En [[./src/Monotonia_de_la_imagen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Monotonia_de_la_imagen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_union.md][Imagen inversa de la unión]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_interseccion.md][Imagen de la intersección]] (En [[./src/Imagen_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.md][Imagen de la intersección de aplicaciones inyectivas]] (En [[./src/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_interseccion_de_aplicaciones_inyectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.md][Imagen de la diferencia de conjuntos]] (En [[./src/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_diferencia_de_conjuntos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_diferencia.md][Imagen inversa de la diferencia]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_diferencia.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_diferencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_con_la_imagen.md][Intersección con la imagen]] (En [[./src/Interseccion_con_la_imagen.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_con_la_imagen.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_con_la_imagen.md][Unión con la imagen]] (En [[./src/Union_con_la_imagen.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_con_la_imagen.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_con_la_imagen_inversa.md][Intersección con la imagen inversa]] (En [[./src/Interseccion_con_la_imagen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_con_la_imagen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Union_con_la_imagen_inversa.md][Unión con la imagen inversa]] (En [[./src/Union_con_la_imagen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Union_con_la_imagen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_union_general.md][Imagen de la unión general]] (En [[./src/Imagen_de_la_union_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_union_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_interseccion_general.md][Imagen de la intersección general]] (En [[./src/Imagen_de_la_interseccion_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_interseccion_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.md][Imagen de la intersección general mediante inyectiva]] (En [[./src/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_interseccion_general_mediante_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_union_general.md][Imagen inversa de la unión general]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_union_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_union_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.md][Imagen inversa de la intersección general]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Teorema_de_Cantor.md][Teorema de Cantor]] (En [[./src/Teorema_de_Cantor.lean][Lean]] y en [[./thy/Teorema_de_Cantor.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.md][En los monoides, los inversos a la izquierda y a la derecha son iguales]] (En [[./src/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.lean][Lean]] y en [[./thy/En_los_monoides_los_inversos_a_la_izquierda_y_a_la_derecha_son_iguales.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.md][Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides]] (En [[./src/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.lean][Lean]] y en [[./thy/Producto_de_potencias_de_la_misma_base_en_monoides.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.md][Equivalencia de inversos iguales al neutro]] (En [[./src/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.lean][Lean]] y en [[./thy/Equivalencia_de_inversos_iguales_al_neutro.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Unicidad_de_inversos_en_monoides.md][Unicidad de inversos en monoides]] (En [[./src/Unicidad_de_inversos_en_monoides.lean][Lean]] y en [[./thy/Unicidad_de_inversos_en_monoides.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.md][Caracterización de producto igual al primer factor]] (En [[./src/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.lean][Lean]] y en [[./thy/Caracterizacion_de_producto_igual_al_primer_factor.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.md][Unicidad del elemento neutro en los grupos]] (En [[./src/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean][Lean]] y en [[./thy/Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.md][Unicidad de los inversos en los grupos]] (En [[./src/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.lean][Lean]] y en [[./thy/Unicidad_de_los_inversos_en_los_grupos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Inverso_del_producto.md][Inverso del producto]] (En [[./src/Inverso_del_producto.lean][Lean]] y en [[./thy/Inverso_del_producto.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Inverso_de_inverso_en_grupos.md][Inverso del inverso en grupos]] (En [[./src/Inverso_del_inverso_en_grupos.lean][Lean]] y en [[./thy/Inverso_del_inverso_en_grupos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_cancelativa_en_grupos.md][Propiedad cancelativa en grupos]] (En [[./src/Propiedad_cancelativa_en_grupos.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_cancelativa_en_grupos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Potencias_de_potencias_en_monoides.md][Potencias de potencias en monoides]] (En [[./src/Potencias_de_potencias_en_monoides.lean][Lean]] y en [[./thy/Potencias_de_potencias_en_monoides.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.md][Los monoides booleanos son conmutativos]] (En [[./src/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.lean][Lean]] y en [[./thy/Los_monoides_booleanos_son_conmutativos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_de_sucesiones_constantes.md][Límite de sucesiones constantes]] (En [[./src/Limite_de_sucesiones_constantes.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_de_sucesiones_constantes.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.md][Unicidad del límite de las sucesiones convergentes]] (En [[./src/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean][Lean]] y en [[./thy/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_cuando_se_suma_una_constante.md][Límite cuando se suma una constante]] (En [[./src/Limite_cuando_se_suma_una_constante.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_cuando_se_suma_una_constante.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_de_la_suma_de_sucesiones_convergentes.md][Límite de la suma de sucesiones convergentes]] (En [[./src/Limite_de_la_suma_de_sucesiones_convergentes.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_de_la_suma_de_sucesiones_convergentes.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_multiplicado_por_una_constante.md][Límite multiplicado por una constante]] (En [[./src/Limite_multiplicado_por_una_constante.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_multiplicado_por_una_constante.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.md][El límite de u es a syss el de u-a es 0]] (En [[./src/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.lean][Lean]] y en [[./thy/El_limite_de_u_es_a_syss_el_de_u-a_es_0.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.md][Producto de sucesiones convergentes a cero]] (En [[./src/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.lean][Lean]] y en [[./thy/Producto_de_sucesiones_convergentes_a_cero.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Teorema_del_emparedado.md][Teorema del emparedado]] (En [[./src/Teorema_del_emparedado.lean][Lean]] y en [[./thy/Teorema_del_emparedado.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_de_crecientes_es_creciente.md][La composición de crecientes es creciente]] (En [[./src/La_composicion_de_crecientes_es_creciente.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_de_crecientes_es_creciente.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.md][La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente]] (En [[./src/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.md][Una función creciente e involutiva es la identidad]] (En [[./src/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean][Lean]] y en [[./thy/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.md][Si `f x ≤ f y → x ≤ y`, entonces f es inyectiva]] (En [[./src/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_f(x)_leq_f(y)_to_x_leq_y,_entonces_f_es_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.md][Los supremos de las sucesiones crecientes son sus límites]] (En [[./src/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.lean][Lean]] y en [[./thy/Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.md][Un número es par syss lo es su cuadrado]] (En [[./src/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean][Lean]] y en [[./thy/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Acotacion_de_convergentes.md][Acotación de sucesiones convergentes]] (En [[./src/Acotacion_de_convergentes.lean][Lean]] y en [[./thy/Acotacion_de_convergentes.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_paradoja_del_barbero.md][La paradoja del barbero]] (En [[./src/La_paradoja_del_barbero.lean][Lean]] y en [[./thy/La_paradoja_del_barbero.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.md][Propiedad de la densidad de los reales]] (En [[./src/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_de_la_densidad_de_los_reales.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_cancelativa_del_producto_de_numeros_naturales.md][Propiedad cancelativa del producto de números naturales]] (En [[./src/Propiedad_cancelativa_del_producto_de_numeros_naturales.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_cancelativa_del_producto_de_numeros_naturales.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.md][Límite de sucesión menor que otra sucesión]] (En [[./src/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_de_sucesion_menor_que_otra_sucesion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_sucesiones_acotadas_por_cero_son_nulas.md][Las sucesiones acotadas por cero son nulas]] (En [[./src/Las_sucesiones_acotadas_por_cero_son_nulas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_sucesiones_acotadas_por_cero_son_nulas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.md][Producto de una sucesión acotada por otra convergente a cero]] (En [[./src/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.lean][Lean]] y en [[./thy/Producto_de_una_sucesion_acotada_por_otra_convergente_a_cero.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.md][La congruencia módulo 2 es una relación de equivalencia]] (En [[./src/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.lean][Lean]] y en [[./thy/La_congruencia_modulo_2_es_una_relacion_de_equivalencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.md][Las funciones con inversa por la izquierda son inyectivas]] (En [[./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_izquierda_son_inyectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.md][Las funciones inyectivas tienen inversa por la izquierda]] (En [[./src/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_inyectivas_tienen_inversa_por_la_izquierda.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_izquierda_si_y_solo_si_es_inyectiva.md][Una función tiene inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva]] (En [[./src/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_izquierda_si_y_solo_si_es_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_izquierda_si_y_solo_si_es_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.md][Las funciones con inversa por la derecha son suprayectivas]] (En [[./src/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_con_inversa_por_la_derecha_son_suprayectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.md][Las funciones suprayectivas tienen inversa por la derecha]] (En [[./src/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_suprayectivas_tienen_inversa_por_la_derecha.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_derecha_si_y_solo_si_es_suprayectiva.md][Una función tiene inversa por la derecha si y solo si es suprayectiva]] (En [[./src/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_derecha_si_y_solo_si_es_suprayectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Una_funcion_tiene_inversa_por_la_derecha_si_y_solo_si_es_suprayectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.md][Las funciones con inversa son biyectivas]] (En [[./src/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_con_inversa_son_biyectivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.md][Las funciones biyectivas tienen inversa]] (En [[./src/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_biyectivas_tienen_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Una_funcion_tiene_inversa_si_y_solo_si_es_biyectiva.md][Una función tiene inversa si y solo si es biyectiva]] (En [[./src/Una_funcion_tiene_inversa_si_y_solo_si_es_biyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Una_funcion_tiene_inversa_si_y_solo_si_es_biyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.md][La equipotencia es una relación reflexiva]] (En [[./src/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_reflexiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.md][La inversa de una función biyectiva es biyectiva]] (En [[./src/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_inversa_de_una_funcion_biyectiva_es_biyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.md][La equipotencia es una relación simétrica]] (En [[./src/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.lean][Lean]] y en [[./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_de_funciones_inyectivas_es_inyectiva.md][La composición de funciones inyectivas es inyectiva]] (En [[./src/La_composicion_de_funciones_inyectivas_es_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_de_funciones_inyectivas_es_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.md][La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva]] (En [[./src/La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.md][La composición de funciones biyectivas es biyectiva]] (En [[./src/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_de_funciones_biyectivas_es_biyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.md][La equipotencia es una relación transitiva]] (En [[./src/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.md][La equipotencia es una relación de equivalencia]] (En [[./src/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.lean][Lean]] y en [[./thy/La_equipotencia_es_una_relacion_de_equivalencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.md][La igualdad de valores es una relación de equivalencia]] (En [[./src/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.lean][Lean]] y en [[./thy/La_igualdad_de_valores_es_una_relacion_de_equivalencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.md][La composición por la izquierda con una inyectiva es una operación inyectiva]] (En [[./src/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/La_composicion_por_la_izquierda_con_una_inyectiva_es_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.md][Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy]] (En [[./src/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_sucesiones_convergentes_son_sucesiones_de_Cauchy.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.md][Las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_relacionados_son_iguales.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.md][Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.md][El conjunto de las clases de equivalencia es una partición]] (En [[./src/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.lean][Lean]] y en [[./thy/El_conjunto_de_las_clases_de_equivalencia_es_una_particion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.md][Las particiones definen relaciones reflexivas]] (En [[./src/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_particiones_definen_relaciones_reflexivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.md][Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas]] (En [[./src/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.md][Las particiones definen relaciones transitivas]] (En [[./src/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_particiones_definen_relaciones_transitivas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.md][Las particiones definen relaciones de equivalencia]] (En [[./src/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.md][Relación entre los índices de las subsucesiones y de la sucesión]] (En [[./src/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.lean][Lean]] y en [[./thy/Relacion_entre_los_indices_de_las_subsucesiones_y_de_la_sucesion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.md][Las funciones de extracción no están acotadas]] (En [[./src/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_funciones_de_extraccion_no_estan_acotadas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.md][Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ε>0, ∀ N, ∃k≥N, |u(k)−a| < ε]] (En [[./src/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_u,_entonces_a_tiene_puntos_cercanos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.md][Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión]] (En [[./src/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_subsucesiones_tienen_el_mismo_limite_que_la_sucesion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.md][El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite]] (En [[./src/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.lean][Lean]] y en [[./thy/El_punto_de_acumulacion_de_las_sucesiones_convergente_es_su_limite.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/La_suma_de_los_n_primeros_impares_es_n^2.md][La_suma_de_los_n_primeros_impares_es_n^2]] (En [[./src/La_suma_de_los_n_primeros_impares_es_n^2.lean][Lean]] y en [[./thy/La_suma_de_los_n_primeros_impares_es_n^2.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.md][Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u]] (En [[./src/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_a_es_un_punto_de_acumulacion_de_la_sucesion_de_Cauchy_u,_entonces_a_es_el_limite_de_u.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.md][Las sucesiones divergentes positivas no_tienen límites finitos]] (En [[./src/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.lean][Lean]] y en [[./thy/Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.md][Límite de sucesiones no decrecientes]] (En [[./src/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.lean][Lean]] y en [[./thy/Limite_de_sucesiones_no_decrecientes.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.md][Pruebas de length (repeat x n) = n]] (En [[./src/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.lean][Lean]] y en [[./thy/Pruebas_de_length_(repeat_x_n)_Ig_n.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.md][Asociatividad de la concatenación de listas]] (En [[./src/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.lean][Lean]] y en [[./thy/Asociatividad_de_la_concatenacion_de_listas.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Pruebas_de_length(xs_++_ys)_Ig_length_xs+length_ys.md][Pruebas de length(xs ++ ys) =_length(xs) + length(ys)]] (En [[./src/Pruebas_de_length(xs_++_ys)_Ig_length_xs+length_ys.lean][Lean]] y en [[./thy/Pruebas_de_length(xs_++_ys)_Ig_length_xs+length_ys.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Pruebas_de_take_n_xs_++_drop_n_xs_Ig_xs.md][Pruebas de take n xs ++ drop n xs = xs]] (En [[./src/Pruebas_de_take_n_xs_++_drop_n_xs_Ig_xs.lean][Lean]] y en [[./thy/Pruebas_de_take_n_xs_++_drop_n_xs_Ig_xs.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Pruebas_de_equivalencia_de_definiciones_de_inversa.md][Pruebas de equivalencia de definiciones de inversa]] (En [[./src/Pruebas_de_equivalencia_de_definiciones_de_inversa.lean][Lean]] y en [[./thy/Pruebas_de_equivalencia_de_definiciones_de_inversa.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Pruebas_de_que_la_funcion_espejo_de_los_arboles_binarios_es_involutiva.md][Pruebas de que la función espejo de los árboles binarios es involutiva]] (En [[./src/Pruebas_de_que_la_funcion_espejo_de_los_arboles_binarios_es_involutiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Pruebas_de_que_la_funcion_espejo_de_los_arboles_binarios_es_involutiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Razonamiento_sobre_arboles_binarios_Aplanamiento_e_imagen_especular.md][Razonamiento sobre árboles binarios: Aplanamiento e imagen especular]] (En [[./src/Razonamiento_sobre_arboles_binarios_Aplanamiento_e_imagen_especular.lean][Lean]] y en [[./thy/Razonamiento_sobre_arboles_binarios_Aplanamiento_e_imagen_especular.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_x_es_el_supremo_de_A_entonces_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_A_y_lt_a.md][Si x es el supremo de A, entonces ∀ y, y < x → ∃ a ∈ A, y < a]] (En [[./src/Si_x_es_el_supremo_de_A_entonces_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_A_y_lt_a.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_x_es_el_supremo_de_A_entonces_forall_y_y_lt_x_to_exists_a_in_A_y_lt_a.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/CS_de_y_le_x.md][(∀ ε > 0, y ≤ x + ε) →  y ≤ x]] (En [[./src/CS_de_y_le_x.lean][Lean]] y en [[./thy/CS_de_y_le_x.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Los_limites_son_menores_o_iguales_que_las_cotas_superiores.md][Los límites son menores o iguales que las cotas superiores]] (En [[./src/Los_limites_son_menores_o_iguales_que_las_cotas_superiores.lean][Lean]] y en [[./thy/Los_limites_son_menores_o_iguales_que_las_cotas_superiores.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/CS_de_continuidad.md][Si f es continua en a y el límite de u(n) es a, entonces el límite de f(u(n)) es f(a)]] (En [[./src/CS_de_continuidad.lean][Lean]] y en [[./thy/CS_de_continuidad.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_los_primeros_n_numeros_naturales.md][Suma de los primeros números naturales]] (En [[./src/Suma_de_los_primeros_n_numeros_naturales.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_los_primeros_n_numeros_naturales.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_progresion_aritmetica.md][Suma de progresión aritmética]] (En [[./src/Suma_de_progresion_aritmetica.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_progresion_aritmetica.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_progresion_geometrica.md][Suma de progresión geométrica]] (En [[./src/Suma_de_progresion_geometrica.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_progresion_geometrica.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_los_primeros_cuadrados.md][Suma de los primeros cuadrados]] (En [[./src/Suma_de_los_primeros_cuadrados.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_los_primeros_cuadrados.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_los_primeros_cubos.md][Suma de los primeros cubos]] (En [[./src/Suma_de_los_primeros_cubos.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_los_primeros_cubos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Prueba_de_(1+p)^n_mayor_o_igual_que_1+np.md][Prueba de (1+p)^n mayor o igual que 1+np]] (En [[./src/Prueba_de_(1+p)^n_mayor_o_igual_que_1+np.lean][Lean]] y en [[./thy/Prueba_de_(1+p)^n_mayor_o_igual_que_1+np.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Formula_de_Gauss_de_la_suma.md][Formula_de_Gauss_de_la_suma]] (En [[./src/Formula_de_Gauss_de_la_suma.lean][Lean]] y en [[./thy/Formula_de_Gauss_de_la_suma.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Suma_de_potencias_de_dos.md][Suma de potencias de dos]] (En [[./src/Suma_de_potencias_de_dos.lean][Lean]] y en [[./thy/Suma_de_potencias_de_dos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Identidad_de_Brahmagupta-Fibonacci.md][Identidad de Brahmagupta-Fibonacci]] (En [[./src/Identidad_de_Brahmagupta-Fibonacci.lean][Lean]] y en [[./thy/Identidad_de_Brahmagupta-Fibonacci.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Igualdad_de_bloques_de_una_particion_cuando_tienen_elementos_comunes.md][Igualdad_de_bloques_de_una_particion_cuando_tienen_elementos_comunes]] (En [[./src/Igualdad_de_bloques_de_una_particion_cuando_tienen_elementos_comunes.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Pertenencia_a_bloques_de_una_particion_con_elementos_comunes.md][Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes]] (En [[./src/Pertenencia_a_bloques_de_una_particion_con_elementos_comunes.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Pertenencia_a_su_propia_clase_de_equivalencia.md][Pertenencia a su propia clase de equivalencia]] (En [[./src/Pertenencia_a_su_propia_clase_de_equivalencia.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_contienen_a_las_clases_de_equivalencia_de_sus_elementos.md][Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de_sus elementos]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_contienen_a_las_clases_de_equivalencia_de_sus_elementos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_son_iguales_a_las_de_sus_elementos.md][Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_son_iguales_a_las_de_sus_elementos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_son_no_vacias.md][Las clases de equivalencia son no vacías]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_son_no_vacias.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_recubren_el_conjunto.md][Las clases de equivalencia recubren el conjunto]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_recubren_el_conjunto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_clases_de_equivalencia_son_disjuntas.md][Las clases de equivalencia son disjuntas]] (En [[./src/Las_clases_de_equivalencia_son_disjuntas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/El_cociente_aplica_relaciones_de_equivalencia_en_particiones.md][El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones]] (En [[./src/El_cociente_aplica_relaciones_de_equivalencia_en_particiones.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_reflexivas.md][Las relaciones definidas por particiones son reflexivas]] (En [[./src/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_reflexivas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_simetricas.md][Las relaciones definidas por particiones son simétricas]] (En [[./src/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_simetricas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_transitivas.md][Las relaciones definidas por particiones son transitivas]] (En [[./src/Las_relaciones_definidas_por_particiones_son_transitivas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Aplicacion_de_particiones_en_relaciones_de_equivalencia.md][Aplicación de particiones en relaciones de equivalencia]] (En [[./src/Aplicacion_de_particiones_en_relaciones_de_equivalencia.lean][Lean]]).

+ [[./textos/La_funcion_relacionP_es_inversa_por_la_izquierda_de_la_funcion_cociente.md][La función relacionP es inversa por la izquierda de la función cociente]] (En [[./src/La_funcion_relacionP_es_inversa_por_la_izquierda_de_la_funcion_cociente.lean][Lean]]).

+ [[./textos/La_funcion_relacionP_es_inversa_por_la_derecha_de_la_funcion_cociente.md][La función relacionP es inversa por la derecha de la función cociente]] (En [[./src/La_funcion_relacionP_es_inversa_por_la_derecha_de_la_funcion_cociente.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Isomorfismo_entre_relaciones_de_equivalencia_y_particiones.md][Isomorfismo entre relaciones de equivalencia y particiones]] (En [[./src/Isomorfismo_entre_relaciones_de_equivalencia_y_particiones.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.md][Propiedad de monotonía de la intersección]] (En [[./src/Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy//Propiedad_de_monotonia_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.md][Propiedad semidistributiva de la intersección sobre la unión]] (En [[./src/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Propiedad_semidistributiva_de_la_interseccion_sobre_la_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.md][Diferencia de diferencia de conjuntos]] (En [[./src/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.lean][Lean]] y en [[./thy/Diferencia_de_diferencia_de_conjuntos.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Interseccion_con_su_union.md][Intersección con su unión]] (En [[./src/Interseccion_con_su_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Interseccion_con_su_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.md][Distributiva de la intersección respecto de la unión general]] (En [[./src/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.lean][Lean]] y en [[./thy/Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_inversa_de_la_interseccion.md][Imagen inversa de la intersección]] (En [[./src/Imagen_inversa_de_la_interseccion.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_inversa_de_la_interseccion.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Imagen_de_la_union.md][Imagen de la unión]] (En [[./src/Imagen_de_la_union.lean][Lean]] y en [[./thy/Imagen_de_la_union.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Teorema_de_Cantor.md][Teorema de Cantor]] (En [[./src/Teorema_de_Cantor.lean][Lean]] y en [[./thy/Teorema_de_Cantor.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_gf_es_inyectiva_entonces_f_es_inyectiva.md][Si_g·f_es_inyectiva_entonces_f_es_inyectiva]] (En [[./src/Si_gf_es_inyectiva_entonces_f_es_inyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_gf_es_inyectiva_entonces_f_es_inyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_gf_es_suprayectiva_entonces_g_es_suprayectiva.md][Si g·f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva]] (En [[./src/Si_gf_es_suprayectiva_entonces_g_es_suprayectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_gf_es_suprayectiva_entonces_g_es_suprayectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/Si_ff_es_biyectiva_entonces_f_es_biyectiva.md][Si f·f es biyectiva entonces f es biyectiva]] (En [[./src/Si_ff_es_biyectiva_entonces_f_es_biyectiva.lean][Lean]] y en [[./thy/Si_ff_es_biyectiva_entonces_f_es_biyectiva.thy][Isabelle]]).

+ [[./textos/El_producto_por_un_par_es_par.md][El producto por un par es par]] (En [[./src/El_producto_por_un_par_es_par.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.md][Si a, b y c son números reales, entonces (a * b) * c = b * (a * c)]] (En [[./src/Asociativa_conmutativa_de_los_reales.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Identidad_condicional_en_los_reales.md][Si a, b, c, d, e y f son números reales tales que a * b = c * d y  e = f entonces, a * (b * e) = c * (d * f)]] (En [[./src/Identidad_condicional_en_los_reales.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cuadrado_del_binomio.md][Si a y b son números reales, entonces (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * (a * b) + b * b]] (En [[./src/Cuadrado_del_binomio.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_de_dos_binomios.md][Si a, b, c y d son números reales, entonces (a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d]] (En [[./src/Producto_de_dos_binomios.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_por_diferencia.md][Si a y b son números reales, entonces (a + b) * (a - b) = a^2 - b^2]] (En [[./src/Suma_por_diferencia.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.md][Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces -a + (a + b) = b]] (En [[./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_izquierda.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.md][Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a]] (En [[./src/Opuesto_se_cancela_con_la_suma_por_la_derecha.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cancelativa_de_la_suma_por_la_izquierda.md][Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a + b = a + c, entonces b = c.]] (En [[./src/Cancelativa_de_la_suma_por_la_izquierda.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cancelativa_de_la_suma_por_la_derecha.md][Si R es un anillo y a, b, c ∈ R tales que a + b = c + b, entonces a = c.]] (En [[./src/Cancelativa_de_la_suma_por_la_derecha.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_por_cero.md][Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a * 0 = 0]] (En [[./src/Producto_por_cero.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_por_cero_por_a.md][Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0 * a = 0]] (En [[./src/Producto_por_cero_por_a.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_cero_implica_opuestos.md][Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces -a=b]] (En [[./src/Suma_cero_implica_opuestos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_cero_implica_opuestos_2.md][Si R es un anillo y a,b∈R tales que a+b=0, entonces a=-b]] (En [[./src/Suma_cero_implica_opuestos_2.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Opuesto_de_cero.md][Si R es un anillo, entonces -0 = 0]] (En [[./src/Opuesto_de_cero.lean][Lean]])

+ [[./textos/Opuesto_del_opuesto.md][Si R es un anillo y a ∈ R, entonces -(-a) = a]] (En [[./src/Opuesto_del_opuesto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Subtraccion_en_anillos.md][Si R es un anillo y a,b∈R, entonces a-b=a+(-b)]] (En [[./src/Subtraccion_en_anillos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Dos_por_a_igual_a_mas_a.md][Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 2 * a = a + a]] (En [[./src/Dos_por_a_igual_a_mas_a.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Inverso_derecha.md][Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a * a⁻¹ = 1]] (En [[./src/Inverso_derecha.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Neutro_derecha.md][Si G es un grupo y a ∈ G, entonces a * 1 = a]] (En [[./src/Neutro_derecha.lean][Lean]]).

+ [[./textos/CS_inverso_izquierda.md][Si G es un grupo y a, b ∈ G tales que b * a = 1, entonces a⁻¹ = b]] (En [[./src/CS_inverso_izquierda.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Inverso_del_producto.md][Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹]] (En [[./src/Inverso_del_producto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Ejercicio_sobre_orden.md][Si a, b, c, d, e ∈ ℝ tales que a ≤ b, b < c, c ≤ d, d < e, entonces a < e]] (En [[./src/Ejercicio_sobre_orden.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Desigualdad_con_exponencial.md][Si a, b, d ∈ ℝ tales que 1 ≤ a y b ≤ d, entonces 2 + a + eᵇ ≤ 3a + eᵈ]] (En [[./src/Desigualdad_con_exponencial.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Desigualdad_con_exponencial_2.md][Si a, b, c, d, f ∈ ℝ tales que a ≤ b y c < d, entonces a + eᶜ + f < b + eᵈ + f]] (En [[./src/Desigualdad_con_exponencial_2.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Desigualdad_con_logaritmos.md][Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b, entonces log(1 + eᵃ) ≤ log(1 + eᵇ)]] (En [[./src/Desigualdad_con_logaritmos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Desigualdad-con_exponencial_3.md][Si a, b, c ∈ ℝ tales que a ≤ b, entonces c - eᵇ ≤ c - eᵃ]] (En [[./src/Desigualdad-con_exponencial_3.lean][Lean]]]).

+ [[./textos/Doble_del_producto_menor_que_suma_de_cuadrados.md][Si a, b ∈ ℝ, entonces 2ab ≤ a² + b²]] (En [[./src/Doble_del_producto_menor_que_suma_de_cuadrados.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Valor_absoluto_del_producto_menor_media_de_cuadrados.md][Si a, b ∈ ℝ, entonces |ab| ≤ (a^2 + b^2)/2]] (En [[./src/Valor_absoluto_del_producto_menor_media_de_cuadrados.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_del_minimo.md][Si a, b ∈ ℝ, entonces min(a,b) = min(b,a)]] (En [[./src/Conmutatividad_del_minimo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_del_maximo.md][Si a, b ∈ ℝ, entonces max(a,b) = max(b,a)]] (En [[./src/Conmutatividad_del_maximo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Asociatividad_del_minimo.md][Si a, b, c ∈ ℝ, entonces min(min(a,b),c) = min(a,min(b,c))]] (En [[./src/Asociatividad_del_minimo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Minimo_de_suma.md][Si a, b, c ∈ ℝ, entonces min a b + c = min (a + c) (b + c)]] (En [[./src/Minimo_de_suma.lean][Lean]]).

+ [[./textos/absoluto_resta.md][Si a, b ∈ ℝ, entonces |a| - |b| ≤ |a - b|]] (En [[./src/absoluto_resta.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Divisivilidad_productos.md][Si x, y, z ∈ ℕ, entonces x ∣ y * x * z]] (En [[./src/Divisivilidad_productos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Divisibilidad_de_cuadrado.md][Si x ∈ ℕ, entonces x ∣ x^2]] (En [[./src/Divisibilidad_de_cuadrado.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Expresion_divisible.md][Si w,x,y,z ∈ ℕ tales que x ∣ w, entonces x ∣ yxz + x² + w²]] (En [[./src/Expresion_divisible.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_del_gcd.md][Si m, n ∈ ℕ, entonces gcd(m,n) = gcd(n,m)]] (En [[./src/Conmutatividad_del_gcd.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_del_infimo.md][Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊓ y = y ⊓ x]] (En [[./src/Conmutatividad_del_infimo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Conmutatividad_del_supremo.md][Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ y = y ⊔ x]] (En [[./src/Conmutatividad_del_supremo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Asociatividad_del_infimo.md][Si R es un retículo y x, y, z ∈ R, entonces (x ⊓ y) ⊓ z = x ⊓ (y ⊓ z)]] (En [[./src/Asociatividad_del_infimo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Asociatividad_del_supremo.md][Si R es un retículo y x, y, z ∈ R, entonces (x ⊔ y) ⊔ z = x ⊔ (y ⊔ z)]] (En [[./src/Asociatividad_del_supremo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Ley_de_absorcion_1.md][Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊓ (x ⊔ y) = x]] (En [[./src/Ley_de_absorcion_1.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Ley_de_absorcion_2.md][Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ (x ⊓ y) = x]] (En [[./src/Ley_de_absorcion_2.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Propiedad_distributiva_1.md][Si R es un retículo tal que x ⊓ (y ⊔ z) = (x ⊓ y) ⊔ (x ⊓ z), entonces (a ⊔ b) ⊓ c = (a ⊓ c) ⊔ (b ⊓ c)]] (En [[./src/Propiedad_distributiva_1.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Propiedad_distributiva_2.md][Si R es un retículo tal que x ⊔ (y ⊓ z) = (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z), entonces (a ⊓ b) ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)]] (En [[./src/Propiedad_distributiva_2.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Si_es_menor_o_igual_entonces_la_diferencia_es_positiva.md][Si R es un anillo ordenado y a, b ∈ R, entonces a ≤ b → 0 ≤ b - a]] (En [[./src/Si_es_menor_o_igual_entonces_la_diferencia_es_positiva.lean][Lean]]).

+ [[./textos/CN_de_diferencia_no_negativa.md][Si R es un anillo ordenado y a, b ∈ R, entonces 0 ≤ b - a → a ≤ b]] (En [[./src/CN_de_diferencia_no_negativa.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_desigualdad_por_no_negativo.md][Si R es un anillo ordenado y a, b, c ∈ R tales que a ≤ b y 0 ≤ c, entonces a * c ≤ b * c]] (En [[./src/Producto_desigualdad_por_no_negativo.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Distancia_no_negativa.md][Si X es un espacio métrico y x, y ∈ X, entonces dist(x,y) ≥ 0]] (En [[./src/Distancia_no_negativa.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cota_del_valor_absoluto_del_producto.md][Si x,y,ε ∈ ℝ tales que 0 < ε ≤ 1, |x| < ε y |y| < ε, entonces |x*y| < ε]] (En [[./src/Cota_del_valor_absoluto_del_producto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_de_cotas_superiores.md][La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g]] (En [[./src/Suma_de_cotas_superiores.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_de_cotas_inferiores.md][La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g]] (En [[./src/Suma_de_cotas_inferiores.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_no_negativas.md][El producto de dos funciones no negativas es no negativa]] (En [[./src/Producto_no_negativas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cota_sup_del_producto_de_funciones.md][Si a es una cota superior no negativa de f y b es es una cota superior de la función no negativa g, entonces a·b es una cota superior de f·g]] (En [[./src/Cota_sup_del_producto_de_funciones.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_de_funciones_monotonas.md][La suma de dos funciones monótonas es monótona]] (En [[./src/Suma_de_funciones_monotonas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.md][Si f es monótona y c ≥ 0, entonces c·f es monótona.]] (En [[./src/Producto_de_un_positivo_por_una_funcion_monotona.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Composicion_de_funciones_monotonas.md][Composicion_de_funciones_monotonas]] (En [[./src/Composicion_de_funciones_monotonas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_funciones_pares.md][La suma de dos funciones pares es par.]] (En [[./src/Suma_funciones_pares.lean][Lean]]).

* [[./textos/Producto_funciones_impares.md][El producto de dos funciones impares es par]] (En [[./src/Producto_funciones_impares.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_de_funcion_par_por_impar.md][El producto de una función par por una impar es impar.]] (En [[./src/Producto_de_funcion_par_por_impar.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Composicion_par_impar.md][Si f es par y g es impar, entonces f ∘ g es par]] (En [[./src/Composicion_par_impar.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.md][Para cualquier conjunto s, s ⊆ s]] (En [[./src/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.md][Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t]] (En [[./src/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Cotas_superiores_de_conjuntos.md][Si a es una cota superior de s y a ≤ b, entonces b es una cota superior de s]] (En [[./src/Cotas_superiores_de_conjuntos.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_constante_es_inyectiva.md][Para todo c ∈ ℝ, la función f(x) = x+c es inyectiva]] (En [[./src/Suma_constante_es_inyectiva.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_constante_es_inyectiva.md][Para todo c ∈ ℝ-{0}, la función f(x) = x * c es inyectiva]] (En [[./src/Producto_constante_es_inyectiva.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Composicion_de_funciones_inyectivas.md][Composicion_de_funciones_inyectivas]] (En [[./src/Composicion_de_funciones_inyectivas.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Existencia_de_valor_intermedio.md][∃ x ∈ ℝ, 2 < x < 3]] (En [[./src/Existencia_de_valor_intermedio.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.md][La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está]] (En [[./src/Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.md][La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está]] (En [[./src/Suma_de_funciones_acotadas_inferiormente.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_por_funcion_acotada_superiormente.md][Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c * f también lo está]] (En [[./src/Producto_por_funcion_acotada_superiormente.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Producto_de_suma_de_cuadrados.md][Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es]] (En [[./src/Producto_de_suma_de_cuadrados.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Transitividad_de_la_divisibilidad.md][La relación de divisibilidad es transitiva]] (En [[./src/Transitividad_de_la_divisibilidad.lean][Lean]]).

+ [[./textos/Suma_divisible.md][Si a divide a b y a c, entonces tambien divide a b + c.]] (En [[./src/Suma_divisible.lean][Lean]]).