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https://github.com/jaalonso/dao_con_lean

DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean
https://github.com/jaalonso/dao_con_lean
interactive-theorem-proving leanprover logic mathematics theorem-proving
Last synced: 9 days ago
JSON representation
DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean
Host: GitHub
URL: https://github.com/jaalonso/dao_con_lean
Owner: jaalonso
License: gpl-3.0
Created: 2020-08-04T10:41:38.000Z (over 4 years ago)
Default Branch: master
Last Pushed: 2022-06-24T08:50:34.000Z (over 2 years ago)
Last Synced: 2024-12-06T06:12:05.255Z (2 months ago)
Topics: interactive-theorem-proving, leanprover, logic, mathematics, theorem-proving
Language: Lean
Homepage: https://github.com/jaalonso/DAO_con_Lean/raw/master/DAO_con_Lean.pdf
Size: 1.92 MB
Stars: 0
Watchers: 1
Forks: 0
Open Issues: 0
Metadata Files:
- Readme: README.org
- License: LICENSE
Awesome Lists containing this project

README

        #+subtitle:

#+TITLE: DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean

#+AUTHOR: José A. Alonso

#+DATE: <2020-08-23 Sun>

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#+LATEX_CLASS_OPTIONS: [a4paper,12pt,twoside]

 

# * Contenido                                                             :TOC:

#+LATEX: \input preambulo

* Introducción

El objetivo de este trabajo es presentar una introducción a la DAO (Demostración

Asistida con Ordenador) usando [[https://leanprover.github.io/][Lean]] para usarla en las clases de la asignatura

de [[https://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/m-ra-19/][Razonamiento automático]] del [[http://www.cs.us.es/blogs/mulcia/docencia-plan-estudios/][Máster Universitario en Lógica, Computación e

Inteligencia Artificial]] de la Universidad de Sevilla. Por tanto, el único

prerrequisito es, como en el Máster, cierta madurez matemática como la que deben

tener los alumnos de los Grados de Matemática y de Informática.

La exposición se hará mediante una colección de ejercicios. En cada ejercicios

se mostrarán distintas pruebas del mismo resultado y se comentan las tácticas

conforme se van usando y los lemas utilizados en las demostraciones.

Además, en cada ejercicio hay tres enlaces: uno al código, otro que al

pulsarlo abre el ejercicio en Lean Web (en una sesión del navegador) de forma

que se puede navegar por las pruebas y editar otras alternativas, y el tercero es

un enlace a un vídeo explicando las soluciones del ejercicio.

El trabajo se presenta en 2 formas:

+ Como un [[https://github.com/jaalonso/DAO_con_Lean/raw/master/DAO_con_Lean.pdf][libro en PDF]]

+ Como un [[https://github.com/jaalonso/DAO_con_Lean][proyecto en GitHub]].

Además, los vídeos correspondientes a cada uno de los ejercicios se encuentran

en [[https://www.youtube.com/playlist?list=PLPIlzBVlfbbE-0_FEblzjmDSjIxQUT4x2][YouTube]].

El trabajo se basa fundamentalmente en el proyecto [[https://github.com/leanprover-community/tutorials][lean-tutorials]] de la

[[https://leanprover-community.github.io/][Comunidad Lean]] que, a su vez, se basa en el curso

[[https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pmassot/enseignement/math114/][Introduction aux mathématiques formalisées]] de [[https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pmassot/index.html][Patrick Massot]].

El proyecto se crea con

: leanproject new DAO_con_Lean

* Igualdad

En este capítulos se presenta el razonamiento con igualdades mediante

reescritura.

** Prueba mediante reescritura

+ Enlaces al [[./src/1_Igualdad/Transitividad_de_la_igualdad.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/1_Igualdad/Transitividad_de_la_igualdad_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/sSIxTb4p7lE][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/1_Igualdad/Transitividad_de_la_igualdad.lean" src lean :lines "7-"

** Prueba con lemas y mediante encadenamiento de ecuaciones

+ Enlaces al [[./src/1_Igualdad/Propiedades_asociativa_y_conmutativa.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/1_Igualdad/Propiedades_asociativa_y_conmutativa_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/0u0j3ll3fps][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/1_Igualdad/Propiedades_asociativa_y_conmutativa.lean" src lean :lines "7-"

** Teorema aritmético con hipótesis y uso de lemas

+ Enlaces al [[./src/1_Igualdad/Encadenamiento_de_ecuaciones.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/1_Igualdad/Encadenamiento_de_ecuaciones_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/tAM-EYiIVTs][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/1_Igualdad/Encadenamiento_de_ecuaciones.lean" src lean :lines "7-"

** Ejercicios sobre aritmética real

+ Enlaces al [[./src/1_Igualdad/Ejercicios_sobre_aritmetica_real.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/1_Igualdad/Ejercicios_sobre_aritmetica_real_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/DEqlkFH7E58][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/1_Igualdad/Ejercicios_sobre_aritmetica_real.lean" src lean :lines "7-"

* Conectivas: implicación, equivalencia, conjunción y disyunción

** Reglas de la implicación

*** Eliminación de la implicación

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_implicacion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_implicacion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/yF3XK7V3WoM][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_implicacion.lean" src lean :lines "7-"

*** Introducción de la implicación

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_implicacion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_implicacion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/HZVaBqhntE4][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_implicacion.lean" src lean :lines "7-"

** Reglas de la equivalencia

*** Eliminación de la equivalencia

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_equivalencia.lean][código]] y a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_equivalencia.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/P2zUt7PQ84A][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_equivalencia.lean" src lean :lines "7-"

** Reglas de la conjunción

*** Eliminación de la conjunción

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_conjuncion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_conjuncion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/tvIDWt9NqLs][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_conjuncion.lean" src lean :lines "7-"

*** Introducción de la conjunción

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_conjuncion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_conjuncion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/agnL6RTjOp8][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Introduccion_de_la_conjuncion.lean" src lean :lines "7-"

** Reglas de la disyunción

*** Eliminación de la disyunción

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_disyuncion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_disyuncion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/DDK0Iqv9uz0][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Eliminacion_de_la_disyuncion.lean" src lean :lines "7-"

** Ejercicios

*** Monotonía de la suma por la izquierda

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_izquierda.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_izquierda_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/WypUZ9McHF8][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_izquierda.lean" src lean :lines "7-"

*** Monotonía de la suma por la derecha

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_derecha.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_derecha_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/MvUtTJTmeX8][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_suma_por_la_derecha.lean" src lean :lines "7-"

*** La suma de no negativos es expansiva

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/La_suma_de_no_negativos_es_expansiva.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/La_suma_de_no_negativos_es_expansiva_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/dRWZh8SqEf4][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/La_suma_de_no_negativos_es_expansiva.lean" src lean :lines "7-"

*** Suma de no negativos

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Suma_de_no_negativos.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Suma_de_no_negativos_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/uEVGeITUPh8][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Suma_de_no_negativos.lean" src lean :lines "7-"

*** Suma de desigualdades

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Suma_de_desigualdades.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Suma_de_desigualdades_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/p4amJgZ1GoQ][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Suma_de_desigualdades.lean" src lean :lines "7-"

*** Monotonía de la multiplicación por no negativo

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_negativo.lean][código]] y a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_negativo_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/U15Yweq_YIE][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_negativo.lean" src lean :lines "7-"

*** Monotonía de la multiplicación por no positivo

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_positivo.lean][código]] y a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_positivo_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/qy_wTY9YXwA][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Monotonia_de_la_multiplicacion_por_no_positivo.lean" src lean :lines "7-"

*** Conectivas y desigualdades

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Conectivas_y_desigualdades.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Conectivas_y_desigualdades_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/vPkse8LMpH0][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Conectivas_y_desigualdades.lean" src lean :lines "7-"

*** Conmutatividad de la conjunción

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Conmutatividad_de_la_conjuncion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Conmutatividad_de_la_conjuncion_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/xsaj936yKUk][vídeo]].

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*** Formulación equivalente de lemas con dos hipótesis

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Formulacion_equivalente_de_lema_con_dos_hipotesis.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Formulacion_equivalente_de_lema_con_dos_hipotesis_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/4V9z8M04f9U][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Formulacion_equivalente_de_lema_con_dos_hipotesis.lean" src lean :lines "7-"

*** En los naturales, mcd(x,y) = x syss x divide a y

+ Enlaces al [[./src/2_Conectivas/Caracterizacion_de_maximo_comun_divisor_igual_al_primer_numero.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/2_Conectivas/Caracterizacion_de_maximo_comun_divisor_igual_al_primer_numero_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/2_Conectivas/Caracterizacion_de_maximo_comun_divisor_igual_al_primer_numero.lean" src lean :lines "7-"

* Cuantificadores

** Cuantificador universal

*** Eliminación del cuantificador universal

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Eliminacion_del_cuantificador_universal.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Eliminacion_del_cuantificador_universal_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Eliminacion_del_cuantificador_universal.lean" src lean :lines "7-"

*** Introducción del cuantificador universal: La función cuadrado es par

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_universal.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_universal_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_universal.lean" src lean :lines "7-"

*** Renombramiento de variables

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Renombramiento_de_variables.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Renombramiento_de_variables_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

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** Ejercicios sobre el cuantificador universal

*** La suma de dos funciones pares es una función par

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/La_suma_de_dos_funciones_pares_es_una_funcion_par.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/La_suma_de_dos_funciones_pares_es_una_funcion_par_SC.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/m5ZEcojgHFw][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/La_suma_de_dos_funciones_pares_es_una_funcion_par.lean" src lean :lines "7-"

*** La composición con una función par es par

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/La_composicion_con_una_funcion_par_es_par.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/La_composicion_con_una_funcion_par_es_par.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/-yasv_XYkb8][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/La_composicion_con_una_funcion_par_es_par.lean" src lean :lines "7-"

*** La composición de funciones impares es impar

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_impares_es_impar.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_impares_es_impar.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/2phn0a_t3gE][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_impares_es_impar.lean" src lean :lines "7-"

*** La composición de funciones crecientes es creciente

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_crecientes_es_creciente.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_crecientes_es_creciente.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/iT_SYxgH0mQ][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_funciones_crecientes_es_creciente.lean" src lean :lines "7-"

*** La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/UYXeYoIV728][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/La_composicion_de_una_funcion_creciente_y_una_decreciente_es_decreciente.lean" src lean :lines "7-"

*** f es creciente syss ∀ x y, x < y → f x ≤ f y

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/f_es_creciente_syss_∀xy,xMy→fxMIfy.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/f_es_creciente_syss_∀xy,xMy→fxMIfy.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/KtNU-J7G1Ck][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/f_es_creciente_syss_∀xy,xMy→fxMIfy.lean" src lean :lines "7-"

*** Una función creciente e involutiva es la identidad

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/YLp4a9nRuYg][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Una_funcion_creciente_e_involutiva_es_la_identidad.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: ∀ a b : ℝ, a = a * b → a = 0 ∨ b = 1

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_aIaPb→aI0∨bI1.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_aIaPb→aI0∨bI1.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/sQAvWu3K4Nk][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_aIaPb→aI0∨bI1.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: ∀ x : ℝ, x^2 = 1 → x = 1 ∨ x = -1

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2I1→xI1∨xI-1.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2I1→xI1∨xI-1.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/XfLQOTMJe4A][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2I1→xI1∨xI-1.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: ∀ x y : ℝ, x^2 = y^2 → x = y ∨ x = -y

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2Iy^2→xIy∨xI-y.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2Iy^2→xIy∨xI-y.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/A01LeRgd37o][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_x^2Iy^2→xIy∨xI-y.lean" src lean :lines "7-"

** Cuantificador existencial

*** Eliminación del cuantificador existencial

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Eliminacion_del_cuantificador_existencial.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Eliminacion_del_cuantificador_existencial.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

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*** Introducción del cuantificador existencial

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_existencial.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_existencial.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Introduccion_del_cuantificador_existencial.lean" src lean :lines "7-"

** Ejercicios con el cuantificador existencial

*** Propiedad: ∃ k, n = k + 1 ⊢ n > 0

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_∃k,nIk+1⊢nM0.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_∃k,nIk+1⊢nM0.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_∃k,nIk+1⊢nM0.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad transitiva de la divisibilidad

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad_transitiva_de_la_divisibilidad.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad_transitiva_de_la_divisibilidad.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/dMmxcKowm7s][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad_transitiva_de_la_divisibilidad.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: Si divide a los sumandos divide a la suma

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/B1qZbIjLWfs][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: Si divide a los sumandos divide a la suma (con condicionales)

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma_con_condicionales.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma_con_condicionales.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_divide_a_los_sumandos_divide_a_la_suma_con_condicionales.lean" src lean :lines "7-"

*** CNS de divisible por cero

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/CNS_de_divisible_por_cero.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/CNS_de_divisible_por_cero.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/-McG4qufGuw][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/CNS_de_divisible_por_cero.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: Si (g ∘ f) es suprayectiva, entonces g es suprayectiva

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_(g.f)_es_suprayectiva,_entonces_g_es_suprayectiva.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_(g.f)_es_suprayectiva,_entonces_g_es_suprayectiva.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/RvCnoW0wSb4][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_Si_(g.f)_es_suprayectiva,_entonces_g_es_suprayectiva.lean" src lean :lines "7-"

*** Propiedad: La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva

+ Enlaces al [[./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/3_Cuantificadores/Propiedad:_La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/QUiEG5ziXjA][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/3_Cuantificadores/Propiedad:_La_composicion_de_funciones_suprayectivas_es_suprayectiva.lean" src lean :lines "7-"

* Límites de sucesiones

** Límites de sucesiones

*** Límite de sucesiones constantes

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/Limite_de_sucesiones_constantes.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/Limite_de_sucesiones_constantes.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/wv_4RcgrRhE][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/Limite_de_sucesiones_constantes.lean" src lean :lines "7-"

*** Si el límite de la sucesión u es c y c > 0, entonces u(n) ≥ c/2 a partir de un N

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/CN_de_limite.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/CN_de_limite.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/CN_de_limite.lean" src lean :lines "7-"

*** Límite de la suma de dos sucesiones convergentes

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/Limite_de_suma.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/Limite_de_suma.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/hkgSjpD8ttY][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/Limite_de_suma.lean" src lean :lines "7-"

*** Teorema del emparedado

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/Teorema_del_emparedado.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/Teorema_del_emparedado.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/biVyszjuQjg][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/Teorema_del_emparedado.lean" src lean :lines "7-"

*** Si |x| < ε, para todo ε > 0, entonces x = 0

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/cero_de_abs_mn_todos.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/cero_de_abs_mn_todos.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/YN0F9ldAVCw][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/cero_de_abs_mn_todos.lean" src lean :lines "7-"

*** Si |x| ≤ ε, para todo ε > 0, entonces x = 0

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/cero_de_abs_mne_todos.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/cero_de_abs_mne_todos.lean][sesión en Lean Web]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/cero_de_abs_mne_todos.lean" src lean :lines "7-"

*** Si |x - y| ≤ ε, para todo ε > 0, entonces x = y

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/ig_de_abs_sub_mne_todos.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/ig_de_abs_sub_mne_todos.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/_k7e173__6o][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/ig_de_abs_sub_mne_todos.lean" src lean :lines "7-"

*** Unicidad del límite de las sucesiones

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/nj2xM9s9ygY][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/Unicidad_del_limite_de_las_sucesiones_convergentes.lean" src lean :lines "7-"

*** Los supremos de las sucesiones no decrecientes son sus límites

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/Los_supremos_de_las_sucesiones_no_decrecientes_son_sus_limites.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/Los_supremos_de_las_sucesiones_no_decrecientes_son_sus_limites.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/XiVr8m4NYCc][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/Los_supremos_de_las_sucesiones_no_decrecientes_son_sus_limites.lean" src lean :lines "7-"

** Subsucesiones

*** La función identidad es menor o igual que la función de extracción

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/id_mne_extraccion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/id_mne_extraccion.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/xS_dJyL6OZA][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/id_mne_extraccion.lean" src lean :lines "7-"

*** Las funciones de extracción no están acotadas

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/extraccion_mye.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/extraccion_mye.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/zy8cWOQnJXo][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/extraccion_mye.lean" src lean :lines "7-"

*** Si a es un punto de acumulación de u, entonces ∀ ε > 0, ∀ N, ∃ n ≥ N, |u n - a| ≤ ε

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/cerca_acumulacion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/cerca_acumulacion.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/qegIH9fxn8Q][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/cerca_acumulacion.lean" src lean :lines "7-"

*** Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/limite_subsucesion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/limite_subsucesion.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/5Juq74qC4BI][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/limite_subsucesion.lean" src lean :lines "7-"

*** El punto de acumulación de las convergentes es su límite

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/acumulacion_limite.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/acumulacion_limite.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/O-e8eAi7x6I][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/acumulacion_limite.lean" src lean :lines "7-"

*** Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/convergente_cauchy.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/convergente_cauchy.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/-RtLj7Cnffw][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/convergente_cauchy.lean" src lean :lines "7-"

*** Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

+ Enlaces al [[./src/5_Limites/cauchy_acumulacion_limite.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/5_Limites/cauchy_acumulacion_limite.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/9UEjt4T_4jk][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/5_Limites/cauchy_acumulacion_limite.lean" src lean :lines "7-"

* Negación

** Falso y negación

*** Principio de no contradicción

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_no_contradiccion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_no_contradiccion.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_no_contradiccion.lean" src lean :lines "7-"

*** Introducción de la doble negación

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Introduccion_de_la_doble_negacion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Introduccion_de_la_doble_negacion.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Introduccion_de_la_doble_negacion.lean" src lean :lines "7-"

*** La relación menor es irreflexiva en los reales

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_relacion_menor_es_irreflexiva_en_los_reales.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/La_relacion_menor_es_irreflexiva_en_los_reales.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/2rs3fj-0RLU][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_relacion_menor_es_irreflexiva_en_los_reales.lean" src lean :lines "7-"

*** Demostración con hipótesis inconsistentes

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_con_hipotesis_inconsistentes.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_con_hipotesis_inconsistentes.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_con_hipotesis_inconsistentes.lean" src lean :lines "7-"

** Principio del tercio excluso y reducción al absurdo

*** Eliminación de la doble negación

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Eliminacion_de_la_doble_negacion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Eliminacion_de_la_doble_negacion.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Eliminacion_de_la_doble_negacion.lean" src lean :lines "7-"

*** Demostración por casos: P → R, ¬P → Q, Q → R ⊢ R

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_por_casos.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_por_casos.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_por_casos.lean" src lean :lines "7-"

*** Demostración de P ∨ Q, ¬(P ∧ Q) ⊢ ¬P ↔ Q

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_de_P∨Q,¬(P∧Q)⊢¬P↔Q.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_de_P∨Q,¬(P∧Q)⊢¬P↔Q.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Demostracion_de_P∨Q,¬(P∧Q)⊢¬P↔Q.lean" src lean :lines "7-"

*** Principio de contraposición

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_contraposicion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_contraposicion.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Principio_de_contraposicion.lean" src lean :lines "7-"

*** Definición del condicional mediante la negación y la disyunción

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Definicion_del_condicional_mediante_la_negacion_y_la_disyuncion.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Definicion_del_condicional_mediante_la_negacion_y_la_disyuncion.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Definicion_del_condicional_mediante_la_negacion_y_la_disyuncion.lean" src lean :lines "7-"

*** Un número es par syss lo es su cuadrado

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/-PczmYJOFak][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Un_numero_es_par_syss_lo_es_su_cuadrado.lean" src lean :lines "7-"

*** Pruebas de la ley de De Morgan: ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Pruebas_de_la_ley_de_De_Morgan.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Pruebas_de_la_ley_de_De_Morgan.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/-sKXvSN0yiw][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Pruebas_de_la_ley_de_De_Morgan.lean" src lean :lines "7-"

*** Negación del existencial: Caracterización de números no pares.

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_existencial.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_existencial.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/YNZRDMejdYA][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_existencial.lean" src lean :lines "7-"

*** Negación del universal: Caracterización de funciones no pares

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_universal.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_universal.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/gSdNkGolAJ4][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Negacion_del_universal.lean" src lean :lines "7-"

*** La función duplicadora no es par

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_duplicadora_no_es_par.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_duplicadora_no_es_par.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_duplicadora_no_es_par.lean" src lean :lines "7-"

*** La función identidad no está acotada superiormente

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean][sesión en Lean Web]] y al [[https://youtu.be/w6sLbvamoLM][vídeo]].

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/La_funcion_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean" src lean :lines "7-"

*** CS menor o igual que cero

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/CS_menor_o_igual_que_cero.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/CS_menor_o_igual_que_cero.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/CS_menor_o_igual_que_cero.lean" src lean :lines "7-"

*** Equivalencia de definiciones de creciente

+ Enlaces al [[./src/4_Contradiccion_y_negacion/Equivalencia_de_definiciones_de_creciente.lean][código]], a la [[https://leanprover-community.github.io/lean-web-editor/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/DAO_con_Lean/master/src/4_Contradiccion_y_negacion/Equivalencia_de_definiciones_de_creciente.lean][sesión en Lean Web]] y al vídeo.

#+INCLUDE: "./src/4_Contradiccion_y_negacion/Equivalencia_de_definiciones_de_creciente.lean" src lean :lines "7-"

* Límites y negaciones

+ [[./src/6_Limites_y_negaciones/Limites_y_negaciones.lean][Límites y negaciones]]

#+INCLUDE: "./src/6_Limites_y_negaciones/Limites_y_negaciones.lean" src lean :lines "7-"

* Ampliación de límites

+ [[./src/7_Ampliacion_de_limites/Ampliacion_de_limites.lean][Ampliación de límites]]

#+INCLUDE: "./src/7_Ampliacion_de_limites/Ampliacion_de_limites.lean" src lean :lines "7-"

* Apéndices

** [[./Tacticas.org][Resumen de tácticas usadas]]

#+INCLUDE: "./Tacticas.org"

** [[./Teoremas.org][Resumen de teoremas usados]]

#+INCLUDE: "./Teoremas.org"

** [[./Estilos.org][Estilos de demostración]]

#+INCLUDE: "./Estilos.org"

** [[./Nomenclatura.org][Nomenclatura]]

#+INCLUDE: "./Nomenclatura.org"

#+LATEX: \end{document}