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https://github.com/jaalonso/explorando-con-lean

Explorando formalizaciones con Lean
https://github.com/jaalonso/explorando-con-lean

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Explorando formalizaciones con Lean

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README 

        
#+TITLE: Explorando formalizaciones con Lean

#+OPTIONS: num:t

 

Estas son las notas de la lectura del libro de [[https://loeh.app.uni-regensburg.de/index.html][Clara Löh]] titulado

[[https://loeh.app.uni-regensburg.de/mapa/main.pdf][Exploring formalisation (A primer in human-readable mathematics in Lean

3 with examples from simplicial topology)]] cuyo código se encuentra en

[[https://gitlab.com/polywuisch/mapa_notes][GitLab]].



* Contenido                                                             :TOC:

- [[#introducción][Introducción]]

- [[#el-asistente-de-pruebas-lean][El asistente de pruebas Lean]]

  - [[#asistentes-de-pruebas][Asistentes de pruebas]]

  - [[#fundamentos][Fundamentos]]

  - [[#tipos][Tipos]]

  - [[#demostraciones][Demostraciones]]

- [[#ejemplos-básicos][Ejemplos básicos]]

  - [[#aplicaciones-inyectivas-y-suprayectivas][Aplicaciones inyectivas y suprayectivas]]

  - [[#inducción][Inducción]]

  - [[#conmutadores][Conmutadores]]

  - [[#el-cero-real][El cero real]]

  - [[#ejercicios][Ejercicios]]

- [[#opciones-de-diseño][Opciones de diseño]]

  - [[#diseño-recursivo][Diseño recursivo]]

  - [[#complejos-simpliciales][Complejos simpliciales]]

  - [[#aplicaciones-simpliciales][Aplicaciones simpliciales]]

  - [[#complejos-simpliciales-finitos][Complejos simpliciales finitos]]

  - [[#generación-de-complejos-simpliciales][Generación de complejos simpliciales]]

  - [[#combinación-de-complejos-simpliciales][Combinación de complejos simpliciales]]

  - [[#la-característica-de-euler][La característica de Euler]]

  - [[#hacia-una-biblioteca][Hacia una biblioteca]]

  - [[#ejercicios-1][Ejercicios]]

- [[#abstracción-y-prototipado][Abstracción y prototipado]]

  - [[#formalización-directa-seminormas-functoriales][Formalización directa: Seminormas functoriales]]

  - [[#formalización-indirecta-multiplicidad-susceptible][Formalización indirecta: Multiplicidad susceptible]]



* Introducción



+ La formalización de las matemáticas en un asistente de pruebas tiene

  los siguientes beneficios:

  + La implementación de las matemáticas requiere un conocimiento muy

    profundo de del tema y de todos los casos extremos. Por lo tanto,

    una formalización exitosa permite un mejor conocimiento de los

    detalles.

  + Una formalización en un asistente de pruebas puede conducir a un

    código ejecutable y, por tanto ofrece la oportunidad de realizar

    experimentos con ejemplos concretos.

  + Los asistentes de pruebas fomentan la abstracción. A menudo es más

    fácil formalizar conceptos de forma declarativa a través de

    propiedades universales en lugar de construcciones concretas y

    potencialmente engorrosas. Esto puede conducir a una una visión más

    clara de las cuestiones e ideas fundamentales.

  + Interactuar con un asistente de pruebas es divertido y adictivo.



+ Si los estudiantes aprenden las técnicas básicas de demostración a

  través de un asistente de pruebas, pueden obtener una

  retroalimentación inmediata y pueden experimentar con pruebas y

  ejemplos. Además, los estudiantes pueden ver en términos más prácticos

  cómo las abstracciones simplifican la vida matemática.

  

* El asistente de pruebas Lean



** Asistentes de pruebas



+ Un asistente de pruebas es un lenguaje de programación junto con su

  correspondiente intérprete/compilador que nos permite formalizar

  objetos y hechos matemáticos (definiciones, teoremas, pruebas y

  ejemplos).



+ La principal tarea de un asistente de pruebas no es encontrar pruebas,

  sino comprobar que las pruebas son correctas.



+ Los asistentes de pruebas ayudan a detectar y evitar errores. Además,

  indirectamente también conducen a una mejor comprensión general de las

  conexiones matemáticas y, a largo plazo, conducirán a formas más

  sistemáticas y estructuradas de generalizar los resultados a nuevos

  contextos.



+ Uno de los grandes retos es utilizar los asistentes de pruebas de tal

  manera que la formalización no sólo sea fácil de comprobar por el

  intérprete/compilador sino también comprensible para los lectores

  humanos: La belleza de las matemáticas no reside en los complicados

  detalles técnicos, sino en las ideas subyacentes.



+ Hay muchos asistentes de pruebas; actualmente, los asistentes de

  pruebas de propósito general más populares son Coq, Isabelle y Lean.



** Fundamentos



+ La formalización de las matemáticas consta de los siguientes componentes

  - un universo de objetos,

  - un lenguaje lógico,

  - un concepto de prueba y

  - un metalenguaje (en el que se formula todo esto).



+ En las pruebas clásicas de papel y lápiz, solemos trabajar con la

  teoría de conjuntos, con una lógica clásica y con un cálculo de

  pruebas que nos permite descomponer, construir y recombinar enunciados

  lógicos.



+ Lean es un lenguaje de programación funcional. Lean se basa en la

  teoría de tipos y en el cálculo de construcciones inductivas en lugar

  de la teoría de conjuntos, ofrece la posibilidad de elegir entre la

  lógica clásica y la intuicionista, y el cálculo de pruebas se basa en

  el isomorfismo de Curry-Howard.

  

** Tipos



+ El lenguaje de programación Lean es de tipo estático; es decir, todos

  los términos están sujetos a reglas de tipado y sus tipos se declaran

  o infieren en tiempo de compilación. 



+ Los tipos en Lean se pueden construir combinando los siguientes:

  - Tipos de función (símbolo →): Si A y B son tipos, entonces A → B

    denota el tipo de todas las funciones de A a B.

  - Tipos de pares (símbolo ×): Si A y B son tipos, entonces A × B

    denota el tipo de todos los pares con el primer componente del tipo

    A y el segundo componente del tipo B.

  - Tipos inductivos (palabra clave ~inductive~):

    + Los tipos inductivos tienen una lista finita de constructores que

      pueden depender recursivamente unos de otros.

    + Ejemplos de tipos inductivos son los tipos de enumeración simple,

      las listas de números naturales y los árboles.

  - Tipos de registro (palabra clave ~structure~):

    + Los tipos de registro tienen un único constructor sobre una lista

      finita de campos.

    + Se puede acceder a estos campos a través de las proyecciones

      correspondientes.

    + Ejemplos de tipos de registro son los tipos de pares o las

      estructuras matemáticas combinadas que constan de múltiples

      componentes o propiedades.

    + Los registros en Lean son extensibles y, por tanto, pueden

      utilizarse para construir teorías de forma jerárquica.

  - Además, Lean tiene cierto soporte para subtipos y cocientes.



+ Lean admite clases de tipo.

  + Las clases de tipos (palabra clave ~class~ o ~@[class] structure~)

    son una variante de los tipos de registro.

  + Las clases de tipos pueden verse como la formalización de un

    conjunto finito de axiomas sobre los tipos de parámetros dados.

  + Dar una instancia de una clase de tipo corresponde a demostrar los

    axiomas correspondientes sobre los tipos de parámetros.

  + Las clases de tipos y sus instancias están sujetas a la

    inferencia de clases de tipos.

  + Ejemplos de clases de tipos son todo tipo de estructuras algebraicas

    como monoides, grupos, etc. Análogamente, también las estructuras

    métricas y los conceptos de la teoría de categorías se axiomatizan

    mediante clases de tipos.

  + Es posible definir múltiples instancias para la misma clase de tipos

    sobre los mismos tipos de parámetros; matemáticamente, esto

    corresponde a, por ejemplo definir múltiples estructuras de grupo

    sobre el mismo conjunto.



+ Tipos dependientes:

  + Lean se basa en la teoría de tipos dependientes.

  + Los tipos son ciudadanos de primera clase y los tipos de suma y

    producto subyacentes a los tipos de función, tipos inductivos y

    tipos de registro son sumas dependientes (tipos Sigma dependientes:

    Σ) y productos (tipos Pi dependientes: Π).

  + Lean admite restricciones y dependencias en los tipos de los

    argumentos y en el del resultado resultado.



+ Los tipos de Lean están organizados en una jerarquía:

  + ~Prop~ (equivalentemente, ~Sort 0~) es la parte inferior de la

    jerarquía de tipos.

    + Las expresiones de tipo ~Prop~ se consideran "proposiciones".

    + El tipo ~Prop~ contiene las constantes booleanas ~true~ y ~false~

    + Las conectivas lógicas convierten los miembros del tipo ~Prop~ en

      resultados del tipo ~Prop~.

  + El ~Type u~ (equivalentemente, ~Sort (u+1)~), para un número natural

    ~u~, pertenece a ~Type (u+1)~.

  + ~Type~ es una abreviatura de ~Type 0~.

  + ~Type*~ es una abreviatura para el ~Type u~ para algún nivel de

    universo no especificado ~u~.

  + Los constructores de tipos (como →) operan sobre estos universos de

    tipos.



+ Los términos de tipo ~Prop~ satisfacen la *extensionalidad

  proposicional*: Si ~A : Prop~ y ~x, y : A~, entonces ~x~ e ~y~ se

  consideran iguales en todos los aspectos.



** Demostraciones



+ En las pruebas matemáticas se usa el /modus ponens/:

  + Si el enunciado ~A~ está demostrado y si la implicación ~A ⇒ B~ está demostrada, entonces

    se deduce que también se demuestra ~B~.

   

+ El *isomorfismo Curry-Howard* identifica

  - enunciados con tipos y

  - pruebas de enunciados con elementos del tipo correspondiente.



+ El /modus ponens/ corresponde a la aplicación de la función:

  + Si ~x : A~  y ~f : A → B~, entonces ~f x : B~.



+ Las pruebas en Lean son sólo implementaciones de funciones.

  + Una prueba del lema

    #+begin_src lean

lemma primer_resultado

  (x : A)

  : ϕ x :=

begin

...

end

    #+end_src

    no es más que una implementación de una función del tipo ~Π (x : A), ϕ x~.



+ [[./src/primer_ejemplo.lean][Primer ejemplo de demostración]] 

#+INCLUDE: "./src/primer_ejemplo.lean" src lean



* Ejemplos básicos



** Aplicaciones inyectivas y suprayectivas



+ [[./src/aplicaciones.lean][Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas]] 

#+INCLUDE: "./src/aplicaciones.lean" src lean



** Inducción



+ [[./src/induccion.lean][Inducción]]

#+INCLUDE: "./src/induccion.lean" src lean



** Conmutadores



+ [[./src/Conmutadores_en_grupos.lean][Conmutadores en grupos]]. 

#+INCLUDE: "./src/Conmutadores_en_grupos.lean" src lean

   

** El cero real



** Ejercicios   



* Opciones de diseño



** Diseño recursivo



** Complejos simpliciales



** Aplicaciones simpliciales



** Complejos simpliciales finitos



** Generación de complejos simpliciales



** Combinación de complejos simpliciales



** La característica de Euler



** Hacia una biblioteca



** Ejercicios



* Abstracción y prototipado



** Formalización directa: Seminormas functoriales



** Formalización indirecta: Multiplicidad susceptible