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机器学习算法python实现
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机器学习算法python实现
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机器学习算法Python实现
=========
[](https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LICENSE)
## 目录
* [机器学习算法Python实现](#机器学习算法python实现)
* [一、线性回归](#一线性回归)
* [1、代价函数](#1代价函数)
* [2、梯度下降算法](#2梯度下降算法)
* [3、均值归一化](#3均值归一化)
* [4、最终运行结果](#4最终运行结果)
* [5、使用scikit-learn库中的线性模型实现](#5使用scikit-learn库中的线性模型实现)
* [二、逻辑回归](#二逻辑回归)
* [1、代价函数](#1代价函数)
* [2、梯度](#2梯度)
* [3、正则化](#3正则化)
* [4、S型函数（即）](#4s型函数即)
* [5、映射为多项式](#5映射为多项式)
* [6、使用的优化方法](#6使用scipy的优化方法)
* [7、运行结果](#7运行结果)
* [8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现](#8使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现)
* [逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll](#逻辑回归_手写数字识别_onevsall)
* [1、随机显示100个数字](#1随机显示100个数字)
* [2、OneVsAll](#2onevsall)
* [3、手写数字识别](#3手写数字识别)
* [4、预测](#4预测)
* [5、运行结果](#5运行结果)
* [6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现](#6使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现)
* [三、BP神经网络](#三bp神经网络)
* [1、神经网络model](#1神经网络model)
* [2、代价函数](#2代价函数)
* [3、正则化](#3正则化)
* [4、反向传播BP](#4反向传播bp)
* [5、BP可以求梯度的原因](#5bp可以求梯度的原因)
* [6、梯度检查](#6梯度检查)
* [7、权重的随机初始化](#7权重的随机初始化)
* [8、预测](#8预测)
* [9、输出结果](#9输出结果)
* [四、SVM支持向量机](#四svm支持向量机)
* [1、代价函数](#1代价函数)
* [2、Large Margin](#2large-margin)
* [3、SVM Kernel（核函数）](#3svm-kernel核函数)
* [4、使用中的模型代码](#4使用scikit-learn中的svm模型代码)
* [5、运行结果](#5运行结果)
* [五、K-Means聚类算法](#五k-means聚类算法)
* [1、聚类过程](#1聚类过程)
* [2、目标函数](#2目标函数)
* [3、聚类中心的选择](#3聚类中心的选择)
* [4、聚类个数K的选择](#4聚类个数k的选择)
* [5、应用——图片压缩](#5应用图片压缩)
* [6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类](#6使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类)
* [7、运行结果](#7运行结果)
* [六、PCA主成分分析（降维）](#六pca主成分分析降维)
* [1、用处](#1用处)
* [2、2D-->1D，nD-->kD](#22d--1dnd--kd)
* [3、主成分分析PCA与线性回归的区别](#3主成分分析pca与线性回归的区别)
* [4、PCA降维过程](#4pca降维过程)
* [5、数据恢复](#5数据恢复)
* [6、主成分个数的选择（即要降的维度）](#6主成分个数的选择即要降的维度)
* [7、使用建议](#7使用建议)
* [8、运行结果](#8运行结果)
* [9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维](#9使用scikit-learn库中的pca实现降维)
* [七、异常检测 Anomaly Detection](#七异常检测-anomaly-detection)
* [1、高斯分布（正态分布）](#1高斯分布正态分布gaussian-distribution)
* [2、异常检测算法](#2异常检测算法)
* [3、评价的好坏，以及的选取](#3评价px的好坏以及ε的选取)
* [4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）](#4选择使用什么样的feature单元高斯分布)
* [5、多元高斯分布](#5多元高斯分布)
* [6、单元和多元高斯分布特点](#6单元和多元高斯分布特点)
* [7、程序运行结果](#7程序运行结果)
## 一、[线性回归](/LinearRegression)
- [全部代码](/LinearRegression/LinearRegression.py)
### 1、代价函数
- 
- 其中：
- 下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
- 共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
- 前面有系数`2`的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，`2`可以消去
- 实现代码：
```
# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
m = len(y)
J = 0
J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
return J
```
- 注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)
### 2、梯度下降算法
- 代价函数对求偏导得到：
![\frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta _j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20J%28%5Ctheta%20%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20%7B%5Ctheta%20_j%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29x_j%5E%7B%28i%29%7D%5D%7D%20)
- 所以对theta的更新可以写为：
![{\theta _j} = {\theta _j} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7B%5Ctheta%20_j%7D%20%3D%20%7B%5Ctheta%20_j%7D%20-%20%5Calpha%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29x_j%5E%7B%28i%29%7D%5D%7D%20)
- 其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取**0.01,0.03,0.1,0.3.....**
- 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
- 假设函数`f(x)`
- 泰勒展开：`f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)`
- 令：`△x=-α*f'(x)` ,即负梯度方向乘以一个很小的步长`α`
- 将`△x`代入泰勒展开式中：`f(x+△x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)`
- 可以看出，`α`是取得很小的正数，`[f'(x)]²`也是正数，所以可以得出：`f(x+△x)<=f(x)`
- 所以沿着**负梯度**放下，函数在减小，多维情况一样。
- 实现代码
```
# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
m = len(y)
n = len(theta)
temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数
h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘
temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算
theta = temp[:,i]
J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数
print '.',
return theta,J_history
```
### 3、均值归一化
- 目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
- 
- 其中  为所有此feture数据的平均值
- 可以是**最大值-最小值**，也可以是这个feature对应的数据的**标准差**
- 实现代码：
```
# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
#定义所需变量
mu = np.zeros((1,X.shape[1]))
sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差
for i in range(X.shape[1]): # 遍历列
X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化
return X_norm,mu,sigma
```
- 注意预测的时候也需要均值归一化数据
### 4、最终运行结果
- 代价随迭代次数的变化
![enter description here][1]
### 5、[使用scikit-learn库中的线性模型实现](/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py)
- 导入包
```
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
```
- 归一化
```
# 归一化操作
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
```
- 线性模型拟合
```
# 线性模型拟合
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(x_train, y)
```
- 预测
```
#预测结果
result = model.predict(x_test)
```
-------------------
## 二、[逻辑回归](/LogisticRegression)
- [全部代码](/LogisticRegression/LogisticRegression.py)
### 1、代价函数
- 
- 可以综合起来为：
![J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Clog%20%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7D%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Clog%20%281%20-%20%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5D)
其中：
- 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
- 的图像如下，即`y=1`时：
![enter description here][2]
可以看出，当趋于`1`，`y=1`,与预测值一致，此时付出的代价`cost`趋于`0`，若趋于`0`，`y=1`,此时的代价`cost`值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
- 同理的图像如下（`y=0`）：
![enter description here][3]
### 2、梯度
- 同样对代价函数求偏导：
![\frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial {\theta _j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}]} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20J%28%5Ctheta%20%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20%7B%5Ctheta%20_j%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29x_j%5E%7B%28i%29%7D%5D%7D%20)
可以看出与线性回归的偏导数一致
- 推到过程
![enter description here][4]
### 3、正则化
- 目的是为了防止过拟合
- 在代价函数中加上一项![J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Clog%20%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7D%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Clog%20%281%20-%20%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Clambda%20%7D%7B%7B2m%7D%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%201%7D%5En%20%7B%5Ctheta%20_j%5E2%7D%20)
- 注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
- 正则化后的代价：
```
# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
J = 0
h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0
theta1[0] = 0
temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程
return J
```
- 正则化后的代价的梯度
```
# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()
theta1[0] = 0
grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
return grad
```
### 4、S型函数（即）
- 实现代码：
```
# S型函数
def sigmoid(z):
h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置
h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
return h
```
### 5、映射为多项式
- 因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
- eg:映射为2次方的形式:
- 实现代码：
```
# 映射为多项式
def mapFeature(X1,X2):
degree = 3; # 映射的最高次方
out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X）
'''
这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
'''
for i in np.arange(1,degree+1):
for j in range(i+1):
temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
return out
```
### 6、使用`scipy`的优化方法
- 梯度下降使用`scipy`中`optimize`中的`fmin_bfgs`函数
- 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
- costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
- initial_theta表示初始化的值,
- fprime指定costFunction的梯度
- args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
```
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
```
### 7、运行结果
- data1决策边界和准确度
![enter description here][5]
![enter description here][6]
- data2决策边界和准确度
![enter description here][7]
![enter description here][8]
### 8、[使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现](/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py)
- 导入包
```
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np
```
- 划分训练集和测试集
```
# 划分为训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
```
- 归一化
```
# 归一化
scaler = StandardScaler()
x_train = scaler.fit_transform(x_train)
x_test = scaler.fit_transform(x_test)
```
- 逻辑回归
```
#逻辑回归
model = LogisticRegression()
model.fit(x_train,y_train)
```
- 预测
```
# 预测
predict = model.predict(x_test)
right = sum(predict == y_test)
predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察
print predict
print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度
```
-------------
## [逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll](/LogisticRegression)
- [全部代码](/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py)
### 1、随机显示100个数字
- 我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下
![enter description here][9]
灰度图：
![enter description here][10]
- 实现代码：
```
# 显示100个数字
def display_data(imgData):
sum = 0
'''
显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
- 初始化一个二维数组
- 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
- 显示即可
'''
pad = 1
display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
for i in range(10):
for j in range(10):
display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
sum += 1
plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像
plt.axis('off')
plt.show()
```
### 2、OneVsAll
- 如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
- 如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
![enter description here][11]
- 可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
### 3、手写数字识别
- 共有0-9，10个数字，需要10次分类
- 由于**数据集y**给出的是`0,1,2...9`的数字，而进行逻辑回归需要`0/1`的label标记，所以需要对y处理
- 说一下数据集，前`500`个是`0`,`500-1000`是`1`,`...`,所以如下图，处理后的`y`，**前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....**
![enter description here][12]
- 然后调用**梯度下降算法**求解`theta`
- 实现代码：
```
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
# 初始化变量
m,n = X.shape
all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
#np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')
'''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
for i in range(num_labels):
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中
all_theta = np.transpose(all_theta)
return all_theta
```
### 4、预测
- 之前说过，预测的结果是一个**概率值**，利用学习出来的`theta`代入预测的**S型函数**中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的**列号**就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为`0`的将`y`映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
- 实现代码：
```
# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
m = X.shape[0]
num_labels = all_theta.shape[0]
p = np.zeros((m,1))
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1
h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测
'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
```
### 5、运行结果
- 10次分类，在训练集上的准确度：
![enter description here][13]
### 6、[使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现](/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py)
- 1、导入包
```
from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
```
- 2、加载数据
```
data = loadmat_data("data_digits.mat")
X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
```
- 3、拟合模型
```
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y) # 拟合
```
- 4、预测
```
predict = model.predict(X) #预测
print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
```
- 5、输出结果（在训练集上的准确度）
![enter description here][14]
----------
## 三、BP神经网络
- [全部代码](/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py)
### 1、神经网络model
- 先介绍个三层的神经网络，如下图所示
- 输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为`1`）
- 表示第`j`层的第`i`个激励，也称为为单元unit
- 为第`j`层到第`j+1`层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
![enter description here][15]
- 所以可以得到：
- 隐含层：
- 输出层
 其中，**S型函数**，也成为**激励函数**
- 可以看出 为3x4的矩阵，为1x4的矩阵
-  ==》`j+1`的单元数x（`j`层的单元数+1）
### 2、代价函数
- 假设最后输出的，即代表输出层有K个单元
- ![J(\Theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^K {[y_k^{(i)}\log {{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}_k}} } + (1 - y_k^{(i)})\log {(1 - {h_\Theta }({x^{(i)}}))_k}]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5CTheta%20%29%20%3D%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5EK%20%7B%5By_k%5E%7B%28i%29%7D%5Clog%20%7B%7B%28%7Bh_%5CTheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%29%7D_k%7D%7D%20%7D%20%20%2B%20%281%20-%20y_k%5E%7B%28i%29%7D%29%5Clog%20%7B%281%20-%20%7Bh_%5CTheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%29_k%7D%5D) 其中，代表第`i`个单元输出
- 与逻辑回归的代价函数![J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Clog%20%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7D%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Clog%20%281%20-%20%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5D)差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
### 3、正则化
- `L`-->所有层的个数
- -->第`l`层unit的个数
- 正则化后的**代价函数**为
![enter description here][16]
- 共有`L-1`层，
- 然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
- 正则化后的代价函数实现代码：
```
# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
# 还原theta1和theta2
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正则化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''代价'''
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m
return np.ravel(J)
```
### 4、反向传播BP
- 上面正向传播可以计算得到`J(θ)`,使用梯度下降法还需要求它的梯度
- BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
- 假设4层的神经网络,记为-->`l`层第`j`个单元的误差
- 《===》（向量化）
- 
- 
- 没有，因为对于输入没有误差
- 因为S型函数的导数为：，所以上面的和可以在前向传播中计算出来
- 反向传播计算梯度的过程为：
- （是大写的）
- for i=1-m:
-
-正向传播计算（l=2,3,4...L）
-反向计算、...；
-
-
- 最后，即得到代价函数的梯度
- 实现代码：
```
# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0]
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy() # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重
'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''反向传播，delta为误差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
#delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:]) # 均方误差的误差率
delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] # 交叉熵误差率
Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
Theta1[:,0] = 0
Theta2[:,0] = 0
'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)
```
### 5、BP可以求梯度的原因
- 实际是利用了`链式求导`法则
- 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
- 大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的`y`非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
![enter description here][17]
- 求误差更详细的推导过程：
![enter description here][18]
### 6、梯度检查
- 检查利用`BP`求的梯度是否正确
- 利用导数的定义验证：
- 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
- 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
- 实现代码：
```
# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
'''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
input_layer_size = 3
hidden_layer_size = 5
num_labels = 3
m = 5
initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y, Lambda)
'''使用数值法计算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
step[i] = e
loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
step[i]=0
# 显示两列比较
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res
```
### 7、权重的随机初始化
- 神经网络不能像逻辑回归那样初始化`theta`为`0`,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
- 所以应该初始化为接近0的数
- 实现代码
```
# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
return W
```
### 8、预测
- 正向传播预测结果
- 实现代码
```
# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
m = X.shape[0]
num_labels = Theta2.shape[0]
#p = np.zeros((m,1))
'''正向传播，预测结果'''
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
```
### 9、输出结果
- 梯度检查：
![enter description here][19]
- 随机显示100个手写数字
![enter description here][20]
- 显示theta1权重
![enter description here][21]
- 训练集预测准确度
![enter description here][22]
- 归一化后训练集预测准确度
![enter description here][23]
--------------------
## 四、SVM支持向量机
### 1、代价函数
- 在逻辑回归中，我们的代价为：
，
其中：，
- 如图所示，如果`y=1`，`cost`代价函数如图所示
![enter description here][24]
我们想让，即`z>>0`，这样的话`cost`代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中**红色**的函数代替逻辑回归中的cost
- 当`y=0`时同样，用代替
![enter description here][25]
- 最终得到的代价函数为：
![J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20C%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Ccos%20%7Bt_1%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Ccos%20%7Bt_0%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%7D%20%5D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%201%7D%5E%7B%5Ctext%7Bn%7D%7D%20%7B%5Ctheta%20_j%5E2%7D%20)
最后我们想要
- 之前我们逻辑回归中的代价函数为：
![J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Clog%20%28%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7D%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Clog%20%281%20-%20%7Bh_%5Ctheta%20%7D%28%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Clambda%20%7D%7B%7B2m%7D%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%201%7D%5En%20%7B%5Ctheta%20_j%5E2%7D%20)
可以认为这里的，只是表达形式问题，这里`C`的值越大，SVM的决策边界的`margin`也越大，下面会说明
### 2、Large Margin
- 如下图所示,SVM分类会使用最大的`margin`将其分开
![enter description here][26]
- 先说一下向量内积
- ![u = \left[ {\begin{array}{c} {{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array} } \right]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=u%20%3D%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20%20%20%20%7B%7Bu_1%7D%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%7B%7Bu_2%7D%7D%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D)，![v = \left[ {\begin{array}{c} {{v_1}} \\ {{v_2}} \end{array} } \right]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=v%20%3D%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20%20%20%20%7B%7Bv_1%7D%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%7B%7Bv_2%7D%7D%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D)
- 表示`u`的**欧几里得范数**（欧式范数），
- `向量V`在`向量u`上的投影的长度记为`p`，则：向量内积：
![enter description here][27]
根据向量夹角公式推导一下即可，
- 前面说过，当`C`越大时，`margin`也就越大，我们的目的是最小化代价函数`J(θ)`,当`margin`最大时，`C`的乘积项![\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Ccos%20%7Bt_1%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Ccos%20%7Bt_0%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bx%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%7D%20%5D)要很小，所以近似为：
，
我们最后的目的就是求使代价最小的`θ`
- 由
可以得到：
，`p`即为`x`在`θ`上的投影
- 如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到`θ`上的投影为`p`,则或者，若是`p`很小，则需要很大，这与我们要求的`θ`使最小相违背，**所以**最后求的是`large margin`
![enter description here][28]
### 3、SVM Kernel（核函数）
- 对于线性可分的问题，使用**线性核函数**即可
- 对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将`feature`映射为使用多项式的形式，`SVM`中也有**多项式核函数**，但是更常用的是**高斯核函数**，也称为**RBF核**
- 高斯核函数为：
假设如图几个点，
![enter description here][29]
令：
.
.
.
- 可以看出，若是`x`与距离较近，==》，（即相似度较大）
若是`x`与距离较远，==》，（即相似度较低）
- 高斯核函数的`σ`越小，`f`下降的越快
![enter description here][30]
![enter description here][31]
- 如何选择初始的
- 训练集：
- 选择：
- 对于给出的`x`，计算`f`,令：所以：
- 最小化`J`求出`θ`，
![J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\cos {t_1}({\theta ^T}{f^{(i)}}) + (1 - {y^{(i)}})\cos {t_0}({\theta ^T}{f^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}} {\theta _j^2} ](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%28%5Ctheta%20%29%20%3D%20C%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5Em%20%7B%5B%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%5Ccos%20%7Bt_1%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bf%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%20%2B%20%281%20-%20%7By%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%5Ccos%20%7Bt_0%7D%28%7B%5Ctheta%20%5ET%7D%7Bf%5E%7B%28i%29%7D%7D%29%7D%20%5D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%201%7D%5E%7B%5Ctext%7Bn%7D%7D%20%7B%5Ctheta%20_j%5E2%7D%20)
- 如果，==》预测`y=1`
### 4、使用`scikit-learn`中的`SVM`模型代码
- [全部代码](/SVM/SVM_scikit-learn.py)
- 线性可分的,指定核函数为`linear`：
```
'''data1——线性分类'''
data1 = spio.loadmat('data1.mat')
X = data1['X']
y = data1['y']
y = np.ravel(y)
plot_data(X,y)
model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
```
- 非线性可分的，默认核函数为`rbf`
```
'''data2——非线性分类'''
data2 = spio.loadmat('data2.mat')
X = data2['X']
y = data2['y']
y = np.ravel(y)
plt = plot_data(X,y)
plt.show()
model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好
```
### 5、运行结果
- 线性可分的决策边界：
![enter description here][32]
- 线性不可分的决策边界：
![enter description here][33]
--------------------------
## 五、K-Means聚类算法
- [全部代码](/K-Means/K-Menas.py)
### 1、聚类过程
- 聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类
- K-Means算法分为两个步骤
- 第一步：簇分配，随机选`K`个点作为中心，计算到这`K`个点的距离，分为`K`个簇
- 第二步：移动聚类中心：重新计算每个**簇**的中心，移动中心，重复以上步骤。
- 如下图所示：
- 随机分配的聚类中心
![enter description here][34]
- 重新计算聚类中心，移动一次
![enter description here][35]
- 最后`10`步之后的聚类中心
![enter description here][36]
- 计算每条数据到哪个中心最近实现代码：
```
# 找到每条数据距离哪个类中心最近
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
m = X.shape[0] # 数据条数
K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数
dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离
idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类
'''计算每个点到每个类中心的距离'''
for i in range(m):
for j in range(K):
dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
'''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
- np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
- np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
- 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
'''
dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下
```
- 计算类中心实现代码：
```
# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
n = X.shape[1]
centroids = np.zeros((K,n))
for i in range(K):
centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
return centroids
```
### 2、目标函数
- 也叫做**失真代价函数**
- 
- 最后我们想得到：
![enter description here][37]
- 其中表示第`i`条数据距离哪个类中心最近，
- 其中即为聚类的中心
### 3、聚类中心的选择
- 随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
- 随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
- 实现代码：(这里随机一次)
```
# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
m = X.shape[0]
m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1
centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序
rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个
centroids = X[rand_indices,:]
return centroids
```
### 4、聚类个数K的选择
- 聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
- 肘部法则（Elbow method）
- 作代价函数`J`和`K`的图，若是出现一个拐点，如下图所示，`K`就取拐点处的值，下图此时`K=3`
![enter description here][38]
- 若是很平滑就不明确，人为选择。
- 第二种就是人为观察选择
### 5、应用——图片压缩
- 将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
- 执行聚类的算法代码：
```
# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
m,n = X.shape # 数据条数和维度
K = initial_centroids.shape[0] # 类数
centroids = initial_centroids # 记录当前类中心
previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心
idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类
for i in range(max_iters): # 迭代次数
print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
idx = findClosestCentroids(X, centroids)
if plot_process: # 如果绘制图像
plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
previous_centroids = centroids # 重置
centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心
if plot_process: # 显示最终的绘制结果
plt.show()
return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类
```
### 6、[使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类](/K-Means/K-Means_scikit-learn.py)
- 导入包
```
from sklearn.cluster import KMeans
```
- 使用模型拟合数据
```
model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据
```
- 聚类中心
```
centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心
```
### 7、运行结果
- 二维数据类中心的移动
![enter description here][39]
- 图片压缩
![enter description here][40]
----------------------
## 六、PCA主成分分析（降维）
- [全部代码](/PCA/PCA.py)
### 1、用处
- 数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
- 可视化数据，例如`3D-->2D`等
- ......
### 2、2D-->1D，nD-->kD
- 如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是**投影距离的平方和**（投影误差）最小
![enter description here][41]
- 注意数据需要`归一化`处理
- 思路是找`1`个`向量u`,所有数据投影到上面使投影距离最小
- 那么`nD-->kD`就是找`k`个向量，所有数据投影到上面使投影误差最小
- eg:3D-->2D,2个向量就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可
### 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
- 线性回归是找`x`与`y`的关系，然后用于预测`y`
- `PCA`是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差
### 4、PCA降维过程
- 数据预处理（均值归一化）
- 公式：
- 就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
- 实现代码：
```
# 归一化数据
def featureNormalize(X):
'''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
n = X.shape[1]
mu = np.zeros((1,n));
sigma = np.zeros((1,n))
mu = np.mean(X,axis=0)
sigma = np.std(X,axis=0)
for i in range(n):
X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
return X,mu,sigma
```
- 计算`协方差矩阵Σ`（Covariance Matrix）：
- 注意这里的`Σ`和求和符号不同
- 协方差矩阵`对称正定`（不理解正定的看看线代）
- 大小为`nxn`,`n`为`feature`的维度
- 实现代码：
```
Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma
```
- 计算`Σ`的特征值和特征向量
- 可以是用`svd`奇异值分解函数：`U,S,V = svd(Σ)`
- 返回的是与`Σ`同样大小的对角阵`S`（由`Σ`的特征值组成）[**注意**：`matlab`中函数返回的是对角阵，在`python`中返回的是一个向量，节省空间]
- 还有两个**酉矩阵**U和V，且
- ![enter description here][42]
- **注意**：`svd`函数求出的`S`是按特征值降序排列的，若不是使用`svd`,需要按**特征值**大小重新排列`U`
- 降维
- 选取`U`中的前`K`列（假设要降为`K`维）
- ![enter description here][43]
- `Z`就是对应降维之后的数据
- 实现代码：
```
# 映射数据
def projectData(X_norm,U,K):
Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
U_reduce = U[:,0:K] # 取前K个
Z = np.dot(X_norm,U_reduce)
return Z
```
- 过程总结：
- `Sigma = X'*X/m`
- `U,S,V = svd(Sigma)`
- `Ureduce = U[:,0:k]`
- `Z = Ureduce'*x`
### 5、数据恢复
- 因为：
- 所以： （注意这里是X的近似值）
- 又因为`Ureduce`为正定矩阵，【正定矩阵满足：，所以：】，所以这里：
- 
- 实现代码：
```
# 恢复数据
def recoverData(Z,U,K):
X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
U_recude = U[:,0:K]
X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据（近似）
return X_rec
```
### 6、主成分个数的选择（即要降的维度）
- 如何选择
- **投影误差**（project error）：
- **总变差**（total variation）:
- 若**误差率**（error ratio）：，则称`99%`保留差异性
- 误差率一般取`1%，5%，10%`等
- 如何实现
- 若是一个个试的话代价太大
- 之前`U,S,V = svd(Sigma)`,我们得到了`S`，这里误差率error ratio:
- 可以一点点增加`K`尝试。
### 7、使用建议
- 不要使用PCA去解决过拟合问题`Overfitting`，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
- 只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA
### 8、运行结果
- 2维数据降为1维
- 要投影的方向
![enter description here][44]
- 2D降为1D及对应关系
![enter description here][45]
- 人脸数据降维
- 原始数据
![enter description here][46]
- 可视化部分`U`矩阵信息
![enter description here][47]
- 恢复数据
![enter description here][48]
### 9、[使用scikit-learn库中的PCA实现降维](/PCA/PCA.py_scikit-learn.py)
- 导入需要的包：
```
#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
```
- 归一化数据
```
'''归一化数据并作图'''
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
```
- 使用PCA模型拟合数据，并降维
- `n_components`对应要将的维度
```
'''拟合数据'''
K=1 # 要降的维度
model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据，n_components定义要降的维度
Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作
```
- 数据恢复
- `model.components_`会得到降维使用的`U`矩阵
```
'''数据恢复并作图'''
Ureduce = model.components_ # 得到降维用的Ureduce
x_rec = np.dot(Z,Ureduce) # 数据恢复
```
---------------------------------------------------------------
## 七、异常检测 Anomaly Detection
- [全部代码](/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py)
### 1、高斯分布（正态分布）`Gaussian distribution`
- 分布函数：
- 其中，`u`为数据的**均值**，`σ`为数据的**标准差**
- `σ`越**小**，对应的图像越**尖**
- 参数估计（`parameter estimation`）
- 
- 
### 2、异常检测算法
- 例子
- 训练集：,其中
- 假设相互独立，建立model模型：
- 过程
- 选择具有代表异常的`feature`:xi
- 参数估计：
- 计算`p(x)`,若是`P(x)<ε`则认为异常，其中`ε`为我们要求的概率的临界值`threshold`
- 这里只是**单元高斯分布**，假设了`feature`之间是独立的，下面会讲到**多元高斯分布**，会自动捕捉到`feature`之间的关系
- **参数估计**实现代码
```
# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
m,n = X.shape
mu = np.zeros((n,1))
sigma2 = np.zeros((n,1))
mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
return mu,sigma2
```
### 3、评价`p(x)`的好坏，以及`ε`的选取
- 对**偏斜数据**的错误度量
- 因为数据可能是非常**偏斜**的（就是`y=1`的个数非常少，(`y=1`表示异常)），所以可以使用`Precision/Recall`，计算`F1Score`(在**CV交叉验证集**上)
- 例如：预测癌症，假设模型可以得到`99%`能够预测正确，`1%`的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有`0.5%`，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用`error rate`来评估就不科学了。
- 如下图记录：
![enter description here][49]
-  ，即：**正确预测正样本/所有预测正样本**
-  ，即：**正确预测正样本/真实值为正样本**
- 总是让`y=1`(较少的类)，计算`Precision`和`Recall`
- 
- 还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
- `ε`的选取
- 尝试多个`ε`值，使`F1Score`的值高
- 实现代码
```
# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大
def selectThreshold(yval,pval):
'''初始化所需变量'''
bestEpsilon = 0.
bestF1 = 0.
F1 = 0.
step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
'''计算'''
for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
cvPrecision = pval bestF1: # 修改最优的F1 Score
bestF1 = F1
bestEpsilon = epsilon
return bestEpsilon,bestF1
```
### 4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
- 如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如`log(x+C),x^(1/2)`等
- 如果`p(x)`的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个`feature`,(因为feature之间可能是有关系的)
### 5、多元高斯分布
- 单元高斯分布存在的问题
- 如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）
![enter description here][50]
- x1对应的高斯分布如下：
![enter description here][51]
- x2对应的高斯分布如下：
![enter description here][52]
- 可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
- 因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以**正圆**的方式扩展
- 多元高斯分布
- ，并不是建立`p(x1),p(x2)...p(xn)`，而是统一建立`p(x)`
- 其中参数：,`Σ`为**协方差矩阵**
- 
- 同样，`|Σ|`越小，`p(x)`越尖
- 例如：
![enter description here][53]，
表示x1,x2**正相关**，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了
![enter description here][54]
若：
![enter description here][55]，
表示x1,x2**负相关**
- 实现代码：
```
# 多元高斯分布函数
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
k = len(mu)
if (Sigma2.shape[0]>1):
Sigma2 = np.diag(Sigma2)
'''多元高斯分布函数'''
X = X-mu
argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) # axis表示每行
return p
```
### 6、单元和多元高斯分布特点
- 单元高斯分布
- 人为可以捕捉到`feature`之间的关系时可以使用
- 计算量小
- 多元高斯分布
- 自动捕捉到相关的feature
- 计算量大，因为：
- `m>n`或`Σ`可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的x，因为线性相关，不可逆，或者就是m