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遗传算法 - Matlab
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遗传算法 - Matlab

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Topics: genetic-algorithm, matlab
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## [遗传算法 - 简书](http://www.jianshu.com/p/8a965c04c787#)

遗传算法的理论是根据达尔文进化论而设计出来的算法: 人类是朝着好的方向（最优解）进化，进化过程中，会自动选择优良基因，淘汰劣等基因。

[**遗传算法**](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%97%E4%BC%A0%E7%AE%97%E6%B3%95)（英语：genetic algorithm (GA) ）是计算数学中用于解决最佳化的搜索算法，是[进化算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9B%E5%8C%96%E7%AE%97%E6%B3%95)的一种。进化算法最初是借鉴了[进化生物学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9B%E5%8C%96%E7%94%9F%E7%89%A9%E5%AD%A6)中的一些现象而发展起来的，这些现象包括**遗传、突变、自然选择、杂交**等。

[搜索算法](http://baike.baidu.com/item/%E6%90%9C%E7%B4%A2%E7%AE%97%E6%B3%95)的共同特征为：
1. 首先组成一组候选解
1. 依据某些适应性条件测算这些候选解的[适应度](http://baike.baidu.com/item/%E9%80%82%E5%BA%94%E5%BA%A6)
1. 根据[适应度](http://baike.baidu.com/item/%E9%80%82%E5%BA%94%E5%BA%A6)保留某些候选解，放弃其他候选解
1. 对保留的候选解进行某些操作，生成新的候选解

![遗传算法流程](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1877813-4b08f7f282e0e277.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

**遗传算法的一般步骤**
1. **my_fitness函数** 评估每条染色体所对应个体的适应度
2. 升序排列适应度评估值，选出 **前 parent_number 个** 个体作为 **待选 parent 种群**（适应度函数的值越小越好）
3. 从 **待选 parent 种群** 中随机选择 2 个个体作为父方和母方。
4. 抽取父母双方的染色体，进行交叉，产生 2 个子代。（交叉概率）
5. 对子代（**parent + 生成的 child**）的染色体进行变异。（变异概率）
6. 重复3,4,5步骤，直到新种群（**parent_number + child_number**）的产生。

循环以上步骤直至找到满意的解。

**名词解释**
- 交叉概率：两个个体进行交配的概率。例如，交配概率为0.8，则80%的“夫妻”会生育后代。
- 变异概率：所有的基因中发生变异的占总体的比例。

## GA函数
```matlab
function [best_fitness, elite, generation, last_generation] = my_ga( ...
number_of_variables, ... % 求解问题的参数个数
fitness_function, ... % 自定义适应度函数名
population_size, ... % 种群规模（每一代个体数目）
parent_number, ... % 每一代中保持不变的数目（除了变异）
mutation_rate, ... % 变异概率
maximal_generation, ... % 最大演化代数
minimal_cost ... % 最小目标值（函数值越小，则适应度越高）
)

% 累加概率
% 假设 parent_number = 10
% 分子 parent_number:-1:1 用于生成一个数列
% 分母 sum(parent_number:-1:1) 是一个求和结果（一个数）
%
% 分子 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
% 分母 55
% 相除 0.1818 0.1636 0.1455 0.1273 0.1091 0.0909 0.0727 0.0545 0.0364 0.0182
% 累加 0.1818 0.3455 0.4909 0.6182 0.7273 0.8182 0.8909 0.9455 0.9818 1.0000
%
% 运算结果可以看出
% 累加概率函数是一个从0到1增长得越来越慢的函数
% 因为后面加的概率越来越小（数列是降虚排列的）
cumulative_probabilities = cumsum((parent_number:-1:1) / sum(parent_number:-1:1)); % 1个长度为parent_number的数列

% 最佳适应度
% 每一代的最佳适应度都先初始化为1
best_fitness = ones(maximal_generation, 1);

% 精英
% 每一代的精英的参数值都先初始化为0
elite = zeros(maximal_generation, number_of_variables);

% 子女数量
% 种群数量 - 父母数量（父母即每一代中不发生改变的个体）
child_number = population_size - parent_number; % 每一代子女的数目

% 初始化种群
% population_size 对应矩阵的行，每一行表示1个个体，行数=个体数（种群数量）
% number_of_variables 对应矩阵的列，列数=参数个数（个体特征由这些参数表示）
population = rand(population_size, number_of_variables);

last_generation = 0; % 记录跳出循环时的代数

% 后面的代码都在for循环中
for generation = 1 : maximal_generation % 演化循环开始

% feval把数据带入到一个定义好的函数句柄中计算
% 把population矩阵带入fitness_function函数计算
cost = feval(fitness_function, population); % 计算所有个体的适应度（population_size*1的矩阵）

% index记录排序后每个值原来的行数
[cost, index] = sort(cost); % 将适应度函数值从小到大排序

% index(1:parent_number)
% 前parent_number个cost较小的个体在种群population中的行数
% 选出这部分(parent_number个)个体作为父母，其实parent_number对应交叉概率
population = population(index(1:parent_number), :); % 先保留一部分较优的个体
% 可以看出population矩阵是不断变化的

% cost在经过前面的sort排序后，矩阵已经改变为升序的
% cost(1)即为本代的最佳适应度
best_fitness(generation) = cost(1); % 记录本代的最佳适应度

% population矩阵第一行为本代的精英个体
elite(generation, :) = population(1, :); % 记录本代的最优解（精英）

% 若本代的最优解已足够好，则停止演化
if best_fitness(generation) < minimal_cost;
last_generation = generation;
break;
end

% 交叉变异产生新的种群

% 染色体交叉开始
for child = 1:2:child_number % 步长为2是因为每一次交叉会产生2个孩子

% cumulative_probabilities长度为parent_number
% 从中随机选择2个父母出来 (child+parent_number)%parent_number
mother = find(cumulative_probabilities > rand, 1); % 选择一个较优秀的母亲
father = find(cumulative_probabilities > rand, 1); % 选择一个较优秀的父亲

% ceil（天花板）向上取整
% rand 生成一个随机数
% 即随机选择了一列，这一列的值交换
crossover_point = ceil(rand*number_of_variables); % 随机地确定一个染色体交叉点

% 假如crossover_point=3, number_of_variables=5
% mask1 = 1 1 1 0 0
% mask2 = 0 0 0 1 1
mask1 = [ones(1, crossover_point), zeros(1, number_of_variables - crossover_point)];
mask2 = not(mask1);

% 获取分开的4段染色体
% 注意是 .*
mother_1 = mask1 .* population(mother, :); % 母亲染色体的前部分
mother_2 = mask2 .* population(mother, :); % 母亲染色体的后部分

father_1 = mask1 .* population(father, :); % 父亲染色体的前部分
father_2 = mask2 .* population(father, :); % 父亲染色体的后部分

% 得到下一代
population(parent_number + child, :) = mother_1 + father_2; % 一个孩子
population(parent_number+child+1, :) = mother_2 + father_1; % 另一个孩子

end % 染色体交叉结束

% 染色体变异开始

% 变异种群
mutation_population = population(2:population_size, :); % 精英不参与变异，所以从2开始

number_of_elements = (population_size - 1) * number_of_variables; % 全部基因数目
number_of_mutations = ceil(number_of_elements * mutation_rate); % 变异的基因数目（基因总数*变异率）

% rand(1, number_of_mutations) 生成number_of_mutations个随机数(范围0-1)组成的矩阵(1*number_of_mutations)
% 数乘后，矩阵每个元素表示发生改变的基因的位置（元素在矩阵中的一维坐标）
mutation_points = ceil(number_of_elements * rand(1, number_of_mutations)); % 确定要变异的基因

% 被选中的基因都被一个随机数替代，完成变异
mutation_population(mutation_points) = rand(1, number_of_mutations); % 对选中的基因进行变异操作

population(2:population_size, :) = mutation_population; % 发生变异之后的种群

% 染色体变异结束

end % 演化循环结束
```
## 适应度函数
适应度函数由解决的问题决定。
举一个平方和的例子。

![简单的平方和问题](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1877813-e51446138a407db0.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

求函数的最小值，其中每个变量的取值区间都是 [-1, +1]。
问题的最优解：每个 x_i 都等于0。

```matlab
function y = my_fitness(population)
% population是随机数[0,1]矩阵，下面的操作改变范围为[-1,1]
population = 2 * (population - 0.5);
y = sum(population.^2, 2); % 行的平方和
```

## 测试
```matlab
clear;
close all;

% 调用 my_ga 进行计算
% 求解问题的参数个数 10
% 自定义适应度函数名 my_fitness
% 种群规模 100
% 每一代中保持不变的数目 50 (即交叉率0.5)
% 变异概率 0.1 (1/10的个体发生变异)
% 最大演化代数 10000 10000代
% 最小目标值 1.0e-6 个体适应度函数值 < 0.000001结束
[best_fitness, elite, generation, last_generation] = my_ga(10, 'my_fitness', 100, 50, 0.1, 10000, 1.0e-6);

% 输出后10行
% disp(best_fitness(9990:10000,:));
% disp(elite(9990:10000,:))
% 这样是不合适的，因为GA常常在中间就跳出循环了

% 这样才是合适的输出
disp(last_generation);
i_begin = last_generation - 9;
disp(best_fitness(i_begin:last_generation,:));
% 将elite值转化为问题范围内
my_elite = elite(i_begin:last_generation,:);
my_elite = 2 * (my_elite - 0.5);
disp(my_elite);

% 最佳适应度的演化情况
figure
loglog(1:generation, best_fitness(1:generation), 'linewidth',2)
xlabel('Generation','fontsize',15);
ylabel('Best Fitness','fontsize',15);
set(gca,'fontsize',15,'ticklength',get(gca,'ticklength')*2);

% 最优解的演化情况
figure
semilogx(1 : generation, 2 * elite(1 : generation, :) - 1)
xlabel('Generation','fontsize',15);
ylabel('Best Solution','fontsize',15);
set(gca,'fontsize',15,'ticklength',get(gca,'ticklength')*2);
```
## 输出
注意：这些值都是不确定的。
```matlab
>> test_ga
2035 // last_generation 跳出循环

// best_fitness 后10行
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.268244559363828
0.063540829423325

// elite 后10行，最后一行为想要的解
Columns 1 through 7

-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849
-0.000383439136218 -0.000401508032900 0.000097444596325 0.000337256996077 -0.000064973174152 0.000120384223563 0.000117039829849

Columns 8 through 10

-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.001433818552852 0.000176675571817
-0.000362645135942 -0.000093799483467 0.000176675571817
```

## 趋势图

最佳适应度函数的值

![Best_Fitness - Generation](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1877813-93767bded3307b2d.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

elite 的变化趋势，10条折线 -> 10个变量

![Best_Solution - Generation](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1877813-78593e09815a718b.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

## 文章参考
[科学网 - 一个用matlab实现的50行的遗传算法程序](http://blog.sciencenet.cn/blog-3102863-1029280.html)

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