https://github.com/superfeda/formul
https://github.com/superfeda/formul
Last synced: about 1 month ago
JSON representation
- Host: GitHub
- URL: https://github.com/superfeda/formul
- Owner: SuperFeda
- Created: 2024-12-25T06:32:12.000Z (6 months ago)
- Default Branch: main
- Last Pushed: 2025-01-19T15:12:19.000Z (5 months ago)
- Last Synced: 2025-02-17T08:19:31.023Z (4 months ago)
- Size: 61.5 KB
- Stars: 0
- Watchers: 1
- Forks: 0
- Open Issues: 0
-
Metadata Files:
- Readme: README.md
Awesome Lists containing this project
README
Константы
$e$ $\approx$ 2.71828
$\pi$ $\approx$ 3.14159
---
Формулы сокращенного умножения
$a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)$
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
$a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$
$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
---
Свойства степеней
$a^{0} = 1$
$a^{m} \times a^{b} = a^{m+n}$
$a^{m} \div a^{b} = a^{m-n}$
$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
$(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$
$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
---
Алгебра логики (алгебра высказываний)
1) Конъюнкция (и) (& ∧)Истино только тогда, когда истины все входящие в него простые высказывания.
2) Дизъюнкция (или) (∨ +)Является истиной только тогда, когда хотябы одно высказывание истино.
3) Отрицание (не) (¬ $\overline{A}$ !)Делает ложным истинное высказывание, и наоборот.
4) Импликация (если ... то ...) (⇒ → ⊃)Ложно только тогда, когда первое высказывание истино, во всех остальных случаях - истина.
5) Эквивалентность (⇔ ≡ ↔)Истино только тогда, когда оба высказывания истины или ложны.
|A|B|!A|!B|A & B|A ∨ B|A → B|A ↔ B|
|--|--|--|--|--|--|--|--|
|0|0|1|1|0|0|1|1|
|0|1|1|0|0|1|1|0|
|1|0|0|1|0|1|0|0|
|1|1|0|0|1|1|1|1|
### Законы:
A ∨ B = B ∨ A
A & B = B & A
A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
A & (B & C) = (A & B) & C
A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C)
A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C)
$\overline{A}$ $\overline{∨}$ $\overline{B}$ = $\overline{A}$ ∧ $\overline{B}$
$\overline{A}$ $\overline{∧}$ $\overline{B}$ = $\overline{A}$ ∨ $\overline{B}$
A ∨ (A & B) = A
A & (A ∨ B) = A
A → B = $\overline{A}$ ∨ B
A ↔ B = (A → B) & (B → A)
A ↔ B = ($\overline{A}$ → B) & ($\overline{B}$ → A)
---
Множества
## Операции
|Оператор|Описание|ПримерA = {1, 2, 3, 7, 9}B = {7, 1, 10, 12, 8}|Диаграмма Эйлера|
|--|--|--|--|
|$\cap$ - пересечение (конъюнкция)|Состоит из элементов, которые пренадлежат обоим множествам|A $\cap$ B = {1, 7}||
|$\cup$ - объединение (дизъюнкция)|Состоит из элементов, которые пренадлежат хотябы одному из множеств|A $\cup$ B = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12}||
|\ - разность|Состоит из элементов, которые пренадлежат $A$, но не принадлежат множеству $B$|A \ B = {2, 3, 9}||
|$\Delta$ - симметрическая разность|Состоит из элементов, которые пренадлежат либо множеству $A$, либо множеству $B$, но не принадлежат одновременно обоим множествам|A $\Delta$ B = {2, 3, 7, 8, 9, 10, 12}||
|$\times$ - Декартово произведение|Представляет собой множество всех возможных упорядоченных пар, где первый элемент пары принадлежит множеству $A$, а второй элемент - множеству $B$|A = {1, 2, 3}B = {10, 11}A $\times$ B = {(1, 10), (1, 11), (2, 10), (2, 11), (3, 10), (3, 11)}||
## Числовые множества
|Обозначение|Описание|
|--|--|
|$\mathbb{N}$|**Множество натуральных чисел**. Включает в себя положительные целые числа, начиная с 1.(1, 2, 3, 4, 5, ...)|
|$\mathbb{Z}$|**Множество целых чисел**. Включает в себя натурыльные числа и их отрицательные значения, включая 0.(..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)|
|$\mathbb{Q}$|**Множество рациональных чисел**. Включает в себя числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$, $b$ - целые числа и $b\neq0$($\frac{1}{2}$; $0,75$)|
|$\mathbb{I}$|**Множество иррациональных чисел**. Включает в себя числа, которые нельзя представить в виде дроби.($\sqrt[]{2}$, $\pi$, $e$)|
|$\mathbb{R}$|**Множество действительных чисел**. Это объединение рациональных и иррациональных чисел. Все числа на числовой прямой являются действительными.|
|$\mathbb{C}$|**Множество комплексных чисел чисел**. Включает в себя числа вида $a + bi$, где $a$, $b$ - действительные числа, а $i$ - мнимая единица ($\sqrt[]{-1}$)|
---
Log
$log_{a} b = x \implies a^{x} = b$
$b>0$; $a>0$; $a\neq1$
$lg(b)$ это $log_{10}b$
$ln(b)$ это $log_{e}b$
### Основное log тождество:
$a^{log_{a}b} = b$
### Свойства:
$log_{a}0 = \emptyset$
$log_{a}1 = 0$
$log_{a}a = 1$
$log_{a}\frac{1}{a} = -1$
$log_{a}a^{b} = b$
$log_{a}b^{p} = p \times log_{a}b$
$log_{a^{p}}b = \frac{1}{p} \times log_{a}{b}$
$log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(a \times b)$
$log_{a}b - log_{a}c = log_{a}\frac{b}{c}$
### Формула перехода к новому основанию:
$log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$
$c>0; c\neq1$
---
Арифметический корень
$\sqrt[n]{a} = b \implies b^{n} = a$
$a\geq0$; $b\geq0$; $n \in N$; $n \geq 2$
### Свойства:
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$
$\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$; $(b\neq0)$
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m \times n]{a}$
$\sqrt[n \times m]{a^{2m}} = \sqrt[n]{a^{2}}$
$(\sqrt[n]{a})^{n} = a$
$\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$
---
Тригонометрия
| $\alpha$ | $0\degree$ | $\frac{\pi}{6} \ (30\degree)$ | $\frac{\pi}{4} \ (45\degree)$ | $\frac{\pi}{3} \ (60\degree)$ | $\frac{\pi}{2} \ (90\degree)$ | $\pi \ (180\degree)$ | $\frac{3\pi}{2} \ (270\degree)$ | $2\pi \ (360\degree)$
| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| $sin(\alpha)$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $cos(\alpha)$ | 1 | $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $tg(\alpha)$ | 0 | $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt[]{3}$ | $-$ | $0$ | $-$ | $0$ |
| $ctg(\alpha)$ | - | $\frac{3}{\sqrt[]{3}}$ | $1$ | $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ | $0$ | $-$ | $0$ | $-$ |
### Основные тригонометрические тождества
$sin^{2}(a) + cos^{2}(a) = 1$
$tg(a) = \frac{sin(a)}{cos(a)}$
$ctg(a) = \frac{cos(a)}{sin(a)}$
$tg(a) \times ctg(a) = 1$
$1 + tg^{2}(a) = \frac{1}{cos^{2}a}$
$1 + ctg^{2}(a) = \frac{1}{sin^{2}a}$
### Четность / нечетность
$sin(-a) = -sin(a)$
$cos(-a) = cos(a)$
$tg(-a) = -tg(a)$
$ctg(-a) = -ctg(a)$
### Формулы сложения/вычитания
$sin(a+b) = sin(a) \times cos(b) + cos(a) \times sin(b)$
$sin(a-b) = sin(a) \times cos(b) - cos(a) \times sin(b)$
$cos(a+b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a) \times sin(b)$
$cos(a-b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)$
$tg(a+b) = \frac{tg(a)+tg(b)}{1 - tg(a) \times tg(b)}$
$tg(a-b) = \frac{tg(a)-tg(b)}{1 + tg(a) \times tg(b)}$
$ctg(a+b) = \frac{-1 + ctg(a) \times ctg(b)}{ctg(a)+ctg(b)}$
$ctg(a-b) = \frac{-1 - ctg(a) \times ctg(b)}{ctg(a)-ctg(b)}$
### Формулы двойного угла
$sin(2a) = 2sin(a) \times cos(a)$
$cos(2a) = cos^{2}a - sin^{2}a$
$cos(2a) = 1-2sin^{2}a = 2cos^{2}a-1$
$tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1-tg^{2}a}$
### Свойства обратных тригонометрических функций
$arcsin(-a) = -arcsin(a)$
$arccos(-a) = \pi - arccos(a)$
$arctg(-a) = -arctg(a)$
$arcctg(-a) = -arcctg(a)$
### Формулы корней тригонометрических функций
$sin(t) = a; t = (-1)^{k} \times arcsin(a) + \pi k, k \in Z$
$cos(t) = a; t = \pm arccos(a) + 2 \pi k, k \in Z$
$tg(t) = a; t = arctg(a) + \pi k, k \in Z$
$ctg(t) = a; t = arcctg(a) + \pi k, k \in Z$