https://github.com/yapeansa/competitive_species
Espécies competindo por um mesmo suprimento de alimento, sendo uma delas mais forte que a outra.
https://github.com/yapeansa/competitive_species
biology computational-modeling ecology python
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Espécies competindo por um mesmo suprimento de alimento, sendo uma delas mais forte que a outra.
- Host: GitHub
- URL: https://github.com/yapeansa/competitive_species
- Owner: yapeansa
- Created: 2025-01-21T10:13:27.000Z (over 1 year ago)
- Default Branch: main
- Last Pushed: 2025-01-29T11:20:38.000Z (over 1 year ago)
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- Topics: biology, computational-modeling, ecology, python
- Language: Jupyter Notebook
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# Espécies em Competição
Duas espécies competindo por um mesmo suprimento de alimento. Uma é mais forte que a outra.
```math
\begin{align}
&x' = x\,(3 - 2\,x - 2\,y), \\
&y' = y\,(2 - x - y).
\end{align}
```
## Análise Qualitativa
### Determinando as x-nullclines
As x-nullclines são os pontos do plano em que $x\\,(3 - 2\\,x - 2\\,y) = 0$, isto é, as x-nullclines são: $x = 0$ e $2\\,y = 3 - 2\\,x$.
### Determinando as y-nullclines
As y-nullclines são os pontos do plano em que $y\\,(2 - x - y) = 0$. Assim, as y-nullclines são dadas por: $y = 0$ e $y = 2 - x$.
### Pontos de equilíbrio
Os pontos de equilíbrio são determinados pelas interseções das x-nullclines com as y-nullclines. Observamos que as retas $2\\,y = 3 - 2\\,x$ e $y = 2 - x$ são paralelas e portanto não se intersectam. Assim, temos os seguintes pontos de equilíbrio: $(0, 0), (0, 2), \left(\frac{3}{2}, 0\right)$.
### Retrato de fase
De posse das nullclines e dos pontos de equilíbrio, somos capazes de esboçar o retrato de fase do sistema. Abaixo apresentamos esse esboço com juntamente com os pontos de equilíbrio e as nullclines:
### Linearização
A matriz jacobiana para o sistema é a matriz $A$ dada por:
```math
A = \begin{pmatrix}
3 - 4\,x - 2\,y & - 2\,x \\ - y & 2 - x - 2\,y
\end{pmatrix}
```
Desta forma, o sistema linearizado na origem $(0,0)$ é dado por:
```math
\begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = B\,\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
```
Podemos observado que a matriz $B$ possui os autovalores $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 2$. Como ambos os autovalores são positivos, o sistema não é hiperbólico e a solução do sistema linearizado próximo da origem descreve qualitativamente o sistema original. Portanto, o ponto de equilíbrio $(0, 0)$ é do tipo fonte. Assim, as soluções se afastam deste ponto ao longo do tempo.